1. 瞬時變化率
平均變化率-平均速度
瞬時變化率-瞬時速度
從平均速度引入瞬時速度比較合適。舉例，對於平均速度來說，當時間差接近0時，平均速度就變成了瞬時速度
平均速度又等於兩點的斜率，當時間差接近0時，斜率(瞬時斜率)又等於曲線切線的斜率，因此曲線切線的斜率就是瞬時速度
利用無限小增量的方式，就能得到某點的瞬時斜率
斜率就是兩點之間的平均變化率
不指明方向叫速率，指明方向叫速度
2. 極限
極限是微積分的基礎，儘管它非常重要，卻是一個很簡單的概念
定義(epsilon delta definition)：對於給出的任何大於0的ε，無論ε等於多少，都存在一個大於0的Δ，使得當0<|x-c|<Δ時，0<|f(x)-L|<ε，那麼就稱L是函數f在x趨於c時的極限。本質上來說，可以無限接近極限值，是因爲可以選取任何的ε。ε決定f(x)距極限值的距離
例子，證明：
此例中，c=1,L=3
3. 導數
直線斜率推廣到曲線中，就有了導數
直線的斜率一直不變，曲線的斜率是變化的（曲線上某點的斜率等於該點切線的斜率）
直線斜率->曲線割線的斜率->曲線切線的斜率
Δx很大時，割線斜率與確切點切線的斜率相差較大，但Δx很小時，割線斜率就與確切點切線的斜率很接近了；取割線斜率在Δx趨於0時的極限，割線斜率就等於確切點切線的斜率了，此時該極限式子又稱爲導函數，導函數的值稱爲導數，即某點切線的斜率：
3.1. 導數法則
指數、加法、鏈式、乘法(商)法則
利用上述法則，求多項式的導函數，其實很簡單
3.2. 常用函數的導數
利用導數法則，求指數、對數、三角函數等的導數
1. 多項式的導數
2. 指數函數
3. 對數函數
4. 三角函數
證明（沒有按照上面的順序）
1.
2.
3.
首先利用 ln(x) 的導數得出：
再使用鏈式法則求導：
又因爲：
所以：
4. 反導數法則(積分法則)
反指數、加法、反鏈式、反乘法法則，反乘法法則又推導出了分部積分，三角代換。
分部積分（比反乘法法則更有用，每進行一次，f(x)的指數會降低一次）：
反鏈式看不出來的話，可以使用代換積分法
4.1. 如何理解積分
積分只是“對許多寬很小的矩形面積求和”。導函數曲線下的面積等於原函數兩個函數值的差，因此可以利用積分求曲線下的面積：
通過“時間距離方程”可以說明爲什麼曲線下的面積等於原函數兩個值的差：
假設“時間距離方程”及其導函數“時間速率方程”爲：
通過“時間距離方程”求1秒到2秒經過的距離：
通過“時間速率方程”求1秒到2秒經過的距離：
當δt趨於0時，通過“時間速率方程”求得的距離近似等於“時間距離方程”的結果。
又因爲：
爲導函數曲線下的一系列長方形的面積，因此如果想求某個曲線下的面積，可以先對曲線積分，然後利用積分求得曲線下的面積
進一步擴展，可以利用積分思想求旋轉體的體積(圓盤方法，殼方法)。
假設導函數沿x軸旋轉，旋轉體的體積（圓盤方法）爲：
假設導函數沿y軸旋轉，旋轉體的體積（殼方法）爲：
4.2. 例子
4.2.1. 換元法
4.2.1.1. 三角換元法
三角換元法隸屬於換元法
將Θ代回去：
4.2.2. 分部積分
證明：
5. 微分方程
微分：一個差值，無限小的變化量；y方向無限小的變化量，稱爲y微分，x方向無限小的變化量，稱爲x微分
微分方程：包含微分的方程稱爲微分方程
注意：傳統方程的解是一個數字，微分方程的解是一個函數
