1. 定義
假設
交換A的所有行和列後,形成的新矩陣,即爲矩陣A的轉置矩陣:
對一個矩陣進行轉置的轉置,結果是原矩陣:
2. 下面爲轉置矩陣的性質
分析矩陣時,我們主要從加法、乘法、零空間、列空間、秩、行列式等角度進行分析
矩陣又分爲原始矩陣、逆矩陣、轉置矩陣等,我們會分析這幾種矩陣的加法、乘法、零空間、列空間、秩、行列式等之間的關係
2.1 矩陣加法的轉置
矩陣加法的轉置,等於矩陣轉置的加法
證明:
假設
根據轉置矩陣的定義:
根據矩陣加法的定義:
因此:
2.2 矩陣乘積的轉置
矩陣乘積的轉置,等於逆序的矩陣轉置的乘積:
可以擴展到2個以上的矩陣:
證明:
假設
定義:
矩陣C,D中的分量爲:
因此:
即C中的第i行,第j列元素,等於D中的第j行,第i列元素,且對所有元素都成立;從而C轉置=D:
2.3. 轉置矩陣的零空間、列空間、秩
2.3.1 轉置矩陣的列空間,等於原始矩陣的行空間:
2.3.2 轉置矩陣的零空間,是所有滿足下面方程的向量x:
對等式兩邊分別轉置:
現在得到了關於原始矩陣A的方程,因此轉置矩陣的零空間爲:
我們用另一個名字來稱呼轉置矩陣的零空間--原始矩陣的左零空間,爲什麼叫“左零空間”,因爲現在是左乘x
2.3.3 零空間中的任意向量,與行空間中的任意向量正交(下一篇文章中證明)
2.3.4 列空間中的任意向量,與左零空間中的任意向量正交(下一篇文章中證明)
2.3.5 屬性:轉置的秩,與原矩陣相同(下一篇文章中證明)
2.4. 轉置矩陣的行列式
性質:轉置矩陣的行列式,等於原矩陣的行列式
證明過程(使用歸納法):
1. 證明對最基本的情況成立,例如2x2矩陣的行列式等於其轉置矩陣的行列式
2. 假設對nxn矩陣成立,證明對(n+1)x(n+1)矩陣成立
3. 假設n=2, 如果2x2矩陣成立,那麼3x3矩陣成立;如果3x3矩陣成立,那麼4x4矩陣成立,等等
詳細證明:
1. 證明2x2矩陣的行列式,等於其轉置矩陣的行列式
假設:
那麼:
因此:
2. 假設nxn矩陣的行列式等於其轉置矩陣的行列式,證明(n+1)x(n+1)矩陣的行列式等於轉置矩陣的行列式
假設:
那麼:
根據B的第一行求行列式:
根據B的轉置矩陣的第一列求行列式:
因爲
爲n x n 矩陣,我們又假設 n x n 矩陣的行列式等於其轉置矩陣的行列式:
因此:
(n+1) x (n+1)矩陣的行列式等於其轉置矩陣的行列式
3. 因爲2x2矩陣的行列式等於其轉置矩陣的行列式, 根據第二條證明,3x3矩陣的行列式等於其轉置矩陣的行列式,依次類推,nxn矩陣的行列式等於其轉置矩陣的行列式
2.5 逆矩陣的轉置
逆矩陣的轉置,是轉置矩陣的逆矩陣
證明:
對等號兩邊同時轉置:
利用2.2中介紹的“矩陣乘積的轉置”:
因此,逆矩陣的轉置,是轉置矩陣的逆矩陣
3. 轉置向量
既然可以求矩陣的轉置,那麼就沒有理由不可以求向量的轉置,因爲向量是特殊的矩陣
性質一:,向量v和w的點積,等於v的轉置與w的積(向量點積與積的關係)
性質二:
這兩個性質是線性代數的基礎
證明:
1. 假設
向量v和w的點積定義爲:
v的轉置與w的積(矩陣乘積):
因此,向量v和w的點積,等於v的轉置與w的積
2.