十四、一些有趣的線性變換

1. 定義

我們已經學習了矩陣的加法和數乘，那麼，線性變換的加法和數乘呢？線性變換的加法和數乘實際上就是矩陣的加法和數乘。

假設：

那麼：

2. 證明

3. 通過線性變換的加法和數乘，構造一些有趣的變換

3.1 假如將R2空間中的三角形或任意圖形沿Y軸翻轉，且在Y軸方向上伸長兩倍，那麼，經過變換，x變成-x，y變成2y：

T變換的變換矩陣爲：

上面的一個變換可以拆開成兩個變換麼？實際上可以拆開成：

變換1：沿Y軸翻轉，變換矩陣爲

變換2：在Y軸方向伸長兩倍，變換矩陣爲

T變換的變換矩陣實際是B和A相乘：

3.2 旋轉變換

旋轉變換爲線性變換，因此可以將旋轉變換表示成矩陣向量積：

變換矩陣A又可以用單位矩陣來表示，比如R2中的A可以表示爲：

比如R3中繞X軸旋轉的A可以表示爲：

4. 單位向量

長度爲1的向量稱爲單位向量。向量的長度，某種程度上，是畢達哥拉斯定理(勾股定理)的推廣。

單位向量在作某些變換的時候非常有用。那麼，如何構造單位向量呢？假設非單位向量爲：

如果想把v變成單位向量u，那麼：

證明過程如下：

表示單位向量時，字母上面的箭頭可以由尖號代替，例如：

5. 向量到直線的投影

向量x到直線L的投影，即垂直於直線L的光，照在向量x上，然後在直線L上形成的影子，邏輯上比較好理解，但是必須通過更數學化的定義，才能求出投影。

更加數學化的定義：一個向量x在直線L上的投影，是L上的某個向量，假設該向量爲，那麼， 與直線L正交。

假設直線L爲：

其中，投影向量又可以表示爲：

那麼， 與直線L正交，意味着  與直線L上的任意向量正交，根據正交的定義：

可以求出變量c，進而求出投影向量：

6. 投影變換

投影本質上是一種變換，且是線性變換。

直線L可以用單位向量來表示：

因此，向量x到直線L的投影向量爲：

又因爲投影變換是線性變換，因此投影變換可以表示爲矩陣向量積：

比如，在二維空間中，投影變換的變換矩陣爲：

三維空間類似。