10.1.1歐幾里得算法和唯一分解定理
除法表達式
分析：
表達式的值一定可以寫成A/B的形式：A是其中一些Xi的乘積，而B是其他數的乘積，而B是其他數的乘積。不難發現，X2必須放在分母位置，那其他數呢？
其他數均可以放在分子位置
接下來的問題就變成了：判斷E是否爲整數
第一種方法是利用前面介紹的高精度運算：k次乘法加一次除法,正確但是麻煩
第2種方法是利用唯一分解定理，把X2寫成若干素數相乘的形式：
第3種方法是直接約分：每次約掉Xi和X2的最大公約數gcd(Xi,X2），則當且僅當約分結束後X2=1時E爲整數，程序如下
int judge(int* X){
X[2]/=gcd(X[2],X[1]);
for(int i=3;i<=k;i++)
X[2]/=gcd(X[i],X[2]);
return X[2]==1;
}輾轉相處法的關鍵在於如下恆等式：gcd（a,b）=gcd(b,a mod b).她和邊界條件gcd（a,0）=a一起構成了下面的程序：
int gcd(int a,int b){
return b==0?a:gcd(b,a%b);
}利用gcd還可以求出兩個整數a,b的最小公倍數lcm(a,b)
不難驗證gcd(a,b)*lcm(a,b)=a*b,不過即使有了公式也不要大意，如果把lcm寫成a*b/gcd(a,b)，可能會出錯，因爲a*b會溢出，正確的寫法是先除後乘，即a/gcd(a,b)*b
10.1.2Eratosthenes篩法
無平方因子的數。給出正整數n,m,區間[n,m]內的“無平方因子”的數有多少個？
分析：
對於這樣的限制，直接枚舉判斷會超時：需要判斷10***0個整數，所以需要用Eratosthenes篩法構造1~n的素數表
篩法的思想特別簡單：對於不超過n的每個非負整數p,刪除2p,3p,,,當處理完所有數之後，還沒被刪的就是素數，用VIS[i]表示i已經被刪除
memset(vis,0,sizeof vis);
for(int i=2;i<=n;i++)
for(j=i*2;j<=n;j+=i)
vis[j]=1;10.1.3擴展歐幾里得算法
直線上的點。求直線ax+by+c=0上有多少個整點，滿足x [x1,x2],y [y1,y2]
分析：
在解決這個問題之前，首先學習歐幾里得算法——找出一對整數（x,y）,使得ax+by=gcd(a,b).注意，這裏x和y不一定是正數，也可能是負數或者0.例如，gcd（6.15）=3,6*3-15*1=3，其中x=3,y=-1.這個方程還有其他解，如x=-2,y=1
下面是擴展歐幾里得算法的程序
void gcd(int a,int b,int& d,int& x,int& y)
{
if(!b)
{
d=a;x=1;y=0;
}
else
{
gcd(b,a%b,d,y,x);
y-=x*(a/b);
}
}上面求出了ax+by=gcd(a,b)的一組解（x1,y1）,?其他解？任取另外一組解（x2,y2）,則ax1+by1=ax2+by2（他們都等於gcd(a,b）),變形得a(x1-x2)=b(y2-y1),近一些列的變形得出
他的任意數解都可以寫成（x0+kB,y0-kA）,A=a/gcd(a,b),B=b/gcd(a,b),k取任意整數
。。。。。。
10.1.4同與與模算術
可得下面公式
（a+b）mod n=（（a mod n）+（b mod n））mod n
（a-b）mod n=（（amodn）-（bmodn）+n）mod n
注意在減法中，由於a mod n可能小於b mod n，需要在結尾上+n,以及乘法過程中可能會溢出
int mul_mod(int a,int b,int n){
a%=n; b%=n;
return (int)((long long)a*b%n);
}首先，把大數寫成自左向右的形式：1234=（（1*10+2）*10+3）*10+4
scanf("%s%d",n,&m);
int len=strlen(n);
int ans=0;
for(int i=0;i<len;i++)
ans=(int)(((long long)ans*10+n[i]-'0')%m);
printf("%d\n",ans);
下利用分治法
int pow_mod(int a,int n,int m){
if(n==0)
return 1;
int x=pow_mod(a,n/2,m);
long long ans=(long long)x*x%m;
if(n%2==1)
ans=ans*a%m;
return (int)ans;
}
