在知乎上看到一个比较复杂一点的例题，可以作为贝叶斯的引入：
一种癌症，得了这个癌症的人被检测出为阳性的机率为90%，未得这种癌症的人被检测出阴性的机率为90%，而人群中得这种癌症的机率为1%，一个人被检测出阳性，问这个人得癌症的机率为多少？
分析一下，首先设癌症为A1，那么不得癌症就是A2，阳性为B1，阴性（不是阳性）为B2。
整理一下已知条件：
得癌症的人中阳性的机率是0.9，这个0.9是只统计了所有得了癌症的人，也就是说有了得癌症这个先验条件，我们写作
P（B1/A1）= 0.9 ①
未得癌症的人中阴性的机率是0.9，同理可以写作：
P(B2/A2) = 0.9 ②
人群中得癌症的概率是0.01，这个人群中指的是所有的人，也就是没有任何先验条件，阴性和阳性的总和。
P(A1) = 0.01 ③
问题是阳性的人中得癌症的概率是多少，也就是：
P(A1/B1)
根据贝叶斯公式，P(A1/B1)*P(B1)=P(B1/A1)*P(A1)=P(A1，B1)
P(A1，B1)是指A1，B1同时发生的概率，叫做联合概率。
所以可以求出
P(A1/B1)=P(B1/A1)*P(A1)/P(B1)=P(A1，B1)/P(B1)
P(A1，B1) = P(B1/A1)*P(A1) = 0.9*0.01 = 0.009
而根据①和③的条件，我们已经知道了P（B1/A1）= 0.9 ① ； P(A1) = 0.01 ③
那么只需要再求出P(B1)即可；
根据P(A1) = 0.01 ③可以求出来
P(A2) = 1 - P(A1) = 0.99 ⑤
再看另一个条件P(B2/A2) = 0.9 ②
可以得出 P(B1/A2) = 1-P(B2/A2) = 1-0.9=0.1
所以可以求出P(B1，A2) = P(B1/A2) * P(A2) = 0.1 * 0.99 = 0.099
由于A2和A1就涵盖了得癌症的所有情况了，所以实际上
P(B1，A2)+P(A1，B1)=P(B1)
P(B1)=0.099+0.009=0.108
所以
P(A1/B1) =P(A1，B1) / P(B1) = 0.009/0.108 = 0.083
总结：
之前我有一步想错了，以为知道 P(B1/A2) / P(A2) ^ 2就可以得到P(B1)了，后来想起来这是通过小部分估计大部分的错误，你只知道在自己圈子这一小片的分布是这样了，就以为外面都是这个概率，就像在自己班上九十分以上的只有一个，你就以为所有班级九十分以上的都很稀少，其实也许其他班所有人都是九十分呢，直接这样除以来估计是绝对不对的。
