皮爾森相關係數公式
文字描述：相關性係數(Px,y)等於X,Y之間的協方差cov(X,Y)除以它們各自標準差的乘積(σX,σY)
1. 先解釋分子，爲什麼用協方差？
因爲我們想要研究的兩組數據的相關性，兩個組數據如果相關的的話，要滿足的最基本的條件：變化趨勢相似（例如正相關或負相關）
而協方差就可以告訴我們這一點，協方差的公式爲：
文字描述爲：如果有X,Y兩個變量，每個時刻的“X值與其均值之差”乘以“Y值與其均值之差”得到一個乘積，再對這每時刻的乘積求和並求出均值
如果X，Y的變化趨勢是有規律的話，例如正相關，那麼在X低於均值的時候，Y大概率也會低於均值；X高於均值的時候，Y大概率也會高於均值，所以兩者相乘後的乘積大概率是正數（大量正數+少量負數），所以數學期望的話也是個正數，所以最後正相關的符號是正的
例如負相關，那麼在X低於均值的時候，Y大概率也會高於均值；X高於均值的時候，Y大概率也會低於均值，所以兩者相乘後的乘積大概率是負數，所以數學期望的話也是個負數（大量負數+少量正數），所以最後負相關的符號是負的
如果X，Y的變化趨勢是沒有規律的，在X低於均值的時候，Y可能低於均值也可能高於均值，所以他們乘後，有一部分乘積的結果爲正，一部分爲負，所以求數學期望的時候相互抵消了（正數和負數的數量相當），所以最後不相關的數據結果會很接近0；
2. 接下來解釋分母，爲什麼用標準差的乘積
協方差除以標準差其實就是做一個歸一化的操作，他的意義在於：消除量綱的影響，單純反應兩個變量每單位變化時的相似程度
爲什麼量綱會有影響呢？例如下圖中，情況一和情況二的紅線曲線變化幅度看起來差很多，但是實際上，兩根紅線的差別只是在於單位差了10000倍，但是綠線的變化對他們的影響其實是一樣的，當綠線在最低峯的時候，紅線也在最低峯；當綠線在最高峯的時候，紅線也在最高峯；兩種情況的相關性應當是一樣的（相關係數只關注紅線和綠線之間互相影響的程度）
如果只考慮協方差的話，情況一的協方差會比情況二大很多，我們想要研究的是變化幅度，不希望量綱的不同會造成對結果的影響，因此需要一個東西來消除量綱的影響
哪爲什麼標準差可以用來消除量綱的影響呢？
標準差的公式爲
文字描述：求出某一個樣本和均值的偏差，因爲偏差可能爲正也可能爲負，所以平方一下，然後把所以偏差的平方都加起來得到偏差平方的數學期望，然後再開方把偏差拉回原來的量級
（其實平方是爲了解決正負號的問題，如果一組偏差很大的數據，一時爲很大的正數，一時爲很大的負數，兩個直接相加的話，偏差的期望就會變成0，就變成了這組數據沒有偏差，這是我們不希望看到的，所以需要加上平方。而開方是爲了消除平方的影響，把偏差的數學期望拉回原來的量級）
所以標準差表示的就是一組數據內部的偏離程度，也可以理解爲變化幅度。這個變化幅度可能很大，也可能很小。
現在我們希望相關係數這個指標，能夠消除量綱的影響，而量綱和變化幅度的意義其實是一樣的。
例如，情況一中，X的單位是1千克，Y的單位是1元，Y每增加1元，X就增加1千克
情況二中，X的單位是0.1克，Y的單位是1元，Y每增加1元，X就增加0.1克
兩個X的單位相差10000倍，導致他們的變化幅度也是相差10000倍（分別爲1千克/元與0.1克/元）
因此協方差除以標準差的話，就變成了單位變化時的協方差，消除了量綱的影響（也可以說是消除了變化幅度的影響）
總結
以上就是皮爾森相關係數公式的理解，簡單地總結就是：
- 分子的協方差用來得到相關性
- 分母的標準差用來消除量綱（或變化幅度）的影響
公式和圖例來源，這篇文章講得很好：如何通俗易懂地解釋「協方差」與「相關係數」的概念？