Random Walk分割算法

引言

RandomWalk是基於圖論分割方法的一個重要分支。在根據圖像建立的圖模型上，RandomWalk根據隨機遊走模型，來求解未標記的像素（unseeded pixels）到達已標記的種子點（seeded pixels）的概率，根據未標記的像素到達不同目標區域的概率大小，來判斷未標記像素的歸屬。

RandomWalk圖像分割算法分爲三個步驟：（1）圖模型的建立；（2）根據隨機遊走模型計算unseeded pixels到達目標區域的線性方程組；（3）利用迭代法求解線性方程組，這裏通常採用共軛梯度法進行求解（conjugate gradient）。其求解過程可以用下圖來描述：

                                                                           

1 圖模型的建立

這裏根據圖像像素與相鄰像素之間的差異，建立加權圖，各個邊的加權值求解方法如下$$w_{ij}=exp(-\beta(g_i-g_j))^2$$

。其中$$g_i，g_j爲相鄰像素的像素值$$

2 隨機遊走模型的建立

隨機遊走模型的建立，可以理解爲狄利克雷積分條件的離散化。其可以使用拉普拉斯矩陣來進行描述，即對隨機遊走模型的求解，可以描述爲如下方程的最小化求解：

$$D[x] = 0.5  x^TL x，$$

其中，拉普拉斯方程的構建如下：

其中$$d_i = sum_jw_{ij}。$$

這裏將圖像中的像素分爲marked/seeded和unseeded兩種，分別標記爲$$V_M和V_U$$因此，狄利克雷方程可以變形如下：

對$x_U$求偏微分，則可以得到如下的方程組：

對於向量$x_M$，其中各個元素爲：

3 模型的求解

對上述稀疏矩陣線性方程組的求解，最長用的是共軛梯度法。這裏值得注意的是由於拉普拉斯矩陣爲稀疏矩陣，如果直接運算將會導致運算緩慢以及對內存的不規則調用。這裏通常使用處理稀疏矩陣的第三方庫來進行計算。常見的第三方庫包括：

方案一：直接使用CUDA

         需要注意的是這裏的矩陣運算是稀疏矩陣的運算，需要對稀疏矩陣進行壓縮處理。

         第三方提供的稀疏矩陣運算程序：http://www.mverschoor.nl/wp/projects/cuda-spmv/

         CUDA官方提供的稀疏矩陣運算程序[需要CUDA7.0版本]：https://developer.nvidia.com/cuSPARSE 

方案二：OPENCL的加速方法來實現

         可以使用ViennaCL進行運算。ViennaCL是使用OPENCL,OPENMP,CUDA等編寫的，主要用於進行高級的矩陣運算。http://viennacl.sourceforge.net/viennacl-about.html

         方案三：使用已有的加速方法來實現，例如voreen：

         使用voreenBlas中的共軛梯度程序求解，其中也包括對稀疏矩陣的處理。https://github.com/bilgili/Voreen/tree/master/modules/randomwalker

方案四：其他的庫，包括MKL中的DCG相關函數；GMM庫等等

4 與圖割方法的比較

 隨機遊走相比較於圖割方法，其具有以下幾點優勢：

（1）對於模糊邊界的求解：圖割方法由於採用了最大圖/最小割方法，其容易導致分割區域的收縮，因此其不適用於血管等圖像的分割。對於模糊邊界的求解，其可以用如下的示意圖表示：

參考文獻：

1. <Random Walk For Image Segmentation> Leo Grady.