【字符串系列】最长公共子序列（LCS）

LCS（longest common subsequent），暴力求解的复杂度为O(2^m*2^n)，用dp求解的时间复杂度为O(m+n)，本博文主要介绍LCS的dp求法，并且给出一点对应的模板题。

LCS的思想很简单，声明一个dp数组，用dp[i][j]表示一个长度为i的字符串和一个长度为j的字符串的LCS，很容易得到转移方程：

dp[i,j]=⎧⎩⎨⎪⎪0dp[i−1,j−1]+1max(dp[i,j−1],dp[i−               i=0 or j=0i,j>0 and  xi=yj1,j] i,j>0 and xi≠yj

求解LCS的主要步骤是：1、初始化dp数组        2、根据状态方程迭代      3、结果就是dp[len1][len2]  （len1是字符串1的长度 len2同理）

贴出核心代码

void LCS(){
	int len1 = strlen(str1);
	int len2 = strlen(str2);
	for(int i=0;i<=len1;i++){
		dp[i][0] = 0;
	}
	for(int i=0;i<=len2;i++){
		dp[0][i] = 0;
	}
	for(int i=1;i<=len1;i++){
		for(int j=1;j<=len2;j++){
			if(str1[i-1] == str2[j-1]){
				dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1;
			} else if(dp[i-1][j] > dp[i][j-1]){ //也可以写成dp[i-1][j]>=do[i][j-1]
				dp[i][j] = dp[i-1][j];
			} else{ 
				dp[i][j] = dp[i][j-1];
			}
		}
	}
	printf("%d\n",dp[len1][len2]);
}

下面给出两道hdu上面的题目作为强化训练

1、hdu1159（百分百的模板题）

不过这道模板题没有给出字符串长度的范围，所以套模板的时候注意数组开大点

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cstdlib>
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
char str1[1005],str2[1005];
int dp[1005][1005];


void LCS(){
	int len1 = strlen(str1);
	int len2 = strlen(str2);
	for(int i=0;i<=len1;i++){
		dp[i][0] = 0;
	}
	for(int i=0;i<=len2;i++){
		dp[0][i] = 0;
	}
	for(int i=1;i<=len1;i++){
		for(int j=1;j<=len2;j++){
			if(str1[i-1] == str2[j-1]){
				dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1;
			} else if(dp[i-1][j] > dp[i][j-1]){
				dp[i][j] = dp[i-1][j];
			} else{ 
				dp[i][j] = dp[i][j-1];
			}
		}
	}
	printf("%d\n",dp[len1][len2]);
}

int main()
{
	//freopen("input.txt","r",stdin);
	while(scanf("%s %s",str1,str2)!=EOF){
		LCS();
	}
	return 0;
}

2、hdu1503

题目大意：给出链各个字符串，要求连接两个字符串并输出，其中公共部分只输出一次，虽然形式有点变化，也可以说是模板题，只不多要多加一个mark[][]数组对两个串的每个字符进行标记，记录是从哪里来的，最后再回溯输出。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<cstdlib>
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
char str1[105],str2[105];
int mark[105][105],dp[105][105];

void printLCS(int i, int j){
	if(!i && !j) return;
	if(mark[i][j] == 0){
 		printLCS(i-1,j-1);
		printf("%c",str1[i-1]);
	}
	else if(mark[i][j] == 1){
 		printLCS(i-1,j);
		printf("%c",str1[i-1]);
	}
	else if(mark[i][j] == 2){
        printLCS(i,j-1);
        printf("%c",str2[j-1]);
	}
}

void LCS(){
	int len1 = strlen(str1);
	int len2 = strlen(str2);
	for(int i=0;i<=len1;i++){
		dp[i][0] = 0;
		mark[i][0] = 1;
	}
	for(int i=0;i<=len2;i++){
		dp[0][i] = 0;
		mark[0][i] = 2;
	}
	for(int i=1;i<=len1;i++){
		for(int j=1;j<=len2;j++){
			if(str1[i-1] == str2[j-1]){
				dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1;
				mark[i][j] = 0;  //common
			} else if(dp[i-1][j] > dp[i][j-1]){
				dp[i][j] = dp[i-1][j];
				mark[i][j] = 1;  //str1 因为选取了dp[i-1][j]，因此mark[i][j]标记为输出str1的
			} else{ 
				dp[i][j] = dp[i][j-1];
				mark[i][j] = 2; //str2
			}
		}
	}
	printLCS(len1,len2);
	printf("\n");
}

int main()
{
	//freopen("input.txt","r",stdin);
	while(scanf("%s %s",str1,str2)!=EOF){
		LCS();
	}
	return 0;
}