題意:有一個數x,給定k組ai和ri,使得x%ai=ri
求x最小爲多少
分析:求解模線性方程組
x = a1(mod m1)
x = a2(mod m2)
x = a3(mod m3)
先求解方程組前兩項。 x=m1*k1+a1=m2*k2+a2
-> m1*k1+m2*(-k2)=a2-a1
這個方程可以通過歐幾里得求解出最小正整數的k1 則x=m1*k1+a1 顯然x爲兩個方程的最小正整數解。
則這兩個方程的通解爲 X=x+k*LCM(m1,m2) -> X=x(mod LCM(m1,m2)) 就轉換成了一個形式相同方程了
在通過這個方程和後面的其他方程求解。最終的結果就出來了。
#include<stdio.h>
__int64 exgcd(__int64 a,__int64 b,__int64 &x,__int64 &y) //擴展歐幾里得
{
__int64 t,d;
if(b==0){
x=1;
y=0;
return a;
}
d=exgcd(b,a%b,x,y);
t=x;
x=y;
y=t-a/b*y;
return d;
}
int main()
{
__int64 a1,a2,r1,r2,c,d,x,y;
int k,i,flag;
while(scanf("%d",&k)!=EOF){
scanf("%I64d%I64d",&a1,&r1);
flag=1;
for(i=1;i<k;i++){
scanf("%I64d%I64d",&a2,&r2);
if(!flag)
continue;
d=exgcd(a1,a2,x,y);
c=r2-r1;
if(c%d)
flag=0;
else{
x*=c/d;
x=(x%(a2/d)+a2/d)%(a2/d); //最小正解
r1=a1*x+r1;
a1=a1*a2/d; //最小公倍數
}
}
if(flag)
printf("%I64d\n",r1);
else
printf("-1\n");
}
return 0;
}