【校內模擬】A（容斥原理）（數位DP）（範德蒙德恆等式）（高精度）

簡要題意：

請你對滿足下列條件的正整數序列 $A_1,A_2\cdots A_n$ 進行計數。

1. $\forall 1\leq i\leq n,L_i\leq A_i\leq R_i$
2. 令 $S=\sum\limits_{i=1}^nA_i$ 給出 $D$ 進制數字集合 $T$ ，滿足要求的 $S$ 的 $D$ 進制拆分中的所有數字都應該屬於 $T$ 集合。

$n\leq 12 ,D\leq 500,1\leq L_i\leq R_i\leq D^{500}$

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題解：

首先高精度是跑不掉的了。。。

由於 $n$ 很小，可以考慮把問題轉化成只有下界進行容斥。

設 $S$ 爲所有下界之和+1 ，假設總和爲 $V$ ，由於沒有上界，顯然方案數就是 ${V-S\choose n-1}$ ，用隔板法考慮即可。

那麼每一次要求的東西就是 $\sum\limits_{V=S}^{INF}{V-S\choose n-1}[V 合法]$

考慮範德蒙德恆等式 ：${n+m\choose k}=\sum\limits_{i=0}^k{n\choose k}{m\choose k}$ ，這個等式在廣義組合數上仍然成立。

於是我們只需要用數位DP，求出 $\sum\limits_{V=S}^{INF}{V\choose i}[V合法]$ ，然後用 ${-S\choose i}$ 來計算即可。

DP過程中的轉移也需要依賴範德蒙德恆等式。

複雜度 $O(2^nn^2\log_D(\sum R))$，高精度不是複雜度瓶頸。

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代碼：

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define re register
#define cs const

using std::cerr;
using std::cout;

cs int mod=1e9+7;
inline int add(int a,int b){return a+b>=mod?a+b-mod:a+b;}
inline int dec(int a,int b){return a-b<0?a-b+mod:a-b;}
inline int mul(int a,int b){ll r=(ll)a*b;return r>=mod?r%mod:r;}
inline void Inc(int &a,int b){a+=b-mod;a+=a>>31&mod;}
inline void Dec(int &a,int b){a-=b;a+=a>>31&mod;}
inline void Mul(int &a,int b){a=mul(a,b);}

cs int N=15,SIZE=527,D=5e2+7;

using Int=std::vector<int>;

int B;

Int& operator++(Int &a){
	if(!a.size())a.push_back(0);int b=1;
	for(int re i=0;i<(int)a.size();++i)
		if((a[i]+=b)>=B)a[i]-=B,b=1;else b=0;
	if(b)a.push_back(b);return a;
}

Int& operator--(Int &a){
	if(!a.size())a.push_back(0);a[0]-=1;
	for(int re i=0;a[i]<0;++i)
		a[i]+=B,a[i+1]--;
	while(a.size()&&!a.back())a.pop_back();
	return a;
}

Int gI(){
	static int len;Int a;
	static char s[1507];
	static int num[1507];
	scanf("%s",s);len=strlen(s);
	for(int re i=0;i<len;++i)
		num[len-i]=s[i]^48;
	while(len){int t=0;
		for(int re i=len;i;--i)
			t=t*10+num[i],num[i]=t/B,t%=B;
		a.push_back(t);
		while(len&&!num[len])--len;
	}return a;
}

Int &operator+=(Int &a,cs Int &b){
	if(a.size()<b.size())a.resize(b.size());
	for(int re i=0;i<(int)b.size();++i)a[i]+=b[i];
	for(int re i=0;i+1<(int)a.size();++i)
		if(a[i]>=B)a[i+1]++,a[i]-=B;
	if(a.size())while(a.back()>=B){
		int t=a.back();a.back()%=B;
		a.push_back(t/B);
	}return a;
}

int get_mod(cs Int &a){
	int res=0;
	for(int re i=a.size()-1;~i;--i)
		Mul(res,B),Inc(res,a[i]);
	return res;
}

int n,ans;
int good[D];

Int L[N],R[N],S;
int C[SIZE][D][N],Len;
int pr[SIZE][D][N],sf[SIZE][D][N];
int inv[N];

int G[N];
int F[2][2][N];

int calc(){
	int t=0,s=1,Sl=S.size()-1;
	memset(G,0,sizeof G);S.resize(Len);
	memset(F[t],0,sizeof F[t]);F[t][1][0]=1;
	for(int re i=0;i<Len;++i){
		t^=1,s^=1;memset(F[t],0,sizeof F[t]);
		for(int re x=0;x<n;++x){
			if(!F[s][0][x]&&!F[s][1][x])continue;
			int sm=add(F[s][0][x],F[s][1][x]);
			int *pr=nullptr,*sf=nullptr,*C,*f0,*f1;
			C=::C[i][S[i]],f0=F[t][0],f1=F[t][1];
			if(S[i]-1>=0)pr=::pr[i][S[i]-1];
			if(S[i]+1<B)sf=::sf[i][S[i]+1];
			for(int re y=0;x+y<n;++y){
				if(S[i]-1>=0)Inc(f0[x+y],mul(sm,pr[y]));
				if(S[i]+1<B){
					Inc(f1[x+y],mul(sm,sf[y]));
					if(i>=Sl)
						Inc(G[x+y],mul(sm,sf[y]));
				}
				Inc(f0[x+y],mul(F[s][0][x],C[y]));
				Inc(f1[x+y],mul(F[s][1][x],C[y]));
				if(i==Sl)
					Inc(G[x+y],mul(F[s][1][x],C[y]));
			}
		}
	}s=dec(0,get_mod(S));int res=0;
	for(int i=0,c=1;i<n;++i){
		if(i)Mul(c,mul(dec(s,i-1),inv[i]));
		Inc(res,mul(G[n-1-i],c));
	}return res;
}

void Main(){
	scanf("%d%d",&n,&B);
	for(int re i=0;i<B;++i)
		scanf("%d",good+i);
	for(int re i=0;i<n;++i)
		L[i]=gI(),--L[i],R[i]=gI(),S+=R[i];
	Len=S.size()+2;inv[0]=inv[1]=1;
	for(int re i=2;i<n;++i)inv[i]=mul(mod-mod/i,inv[mod%i]);
	for(int i=0,pw=1;i<Len;++i,Mul(pw,B)){
		for(int re d=0;d<B;++d)
			if(good[d]){
				C[i][d][0]=1;for(int re j=1;j<n;++j)
				C[i][d][j]=mul(mul(C[i][d][j-1],inv[j]),dec(mul(pw,d),j-1));
			}
		for(int re d=0;d<B;++d)for(int re j=0;j<n;++j)
			pr[i][d][j]=add(d==0?0:pr[i][d-1][j],C[i][d][j]);
		for(int re d=B-1;~d;--d)for(int re j=0;j<n;++j)
			sf[i][d][j]=add(d==B-1?0:sf[i][d+1][j],C[i][d][j]);
	}
	for(int re s=0;s<(1<<n);++s){
		S.clear();S.push_back(1);int ct=0;
		for(int re i=0;i<n;++i)
			(s&(1<<i))?(++ct,S+=R[i]):(S+=L[i]);
		ct&1?Dec(ans,calc()):Inc(ans,calc());
	}cout<<ans<<"\n";
}

inline void file(){
#ifdef zxyoi
	freopen("A.in","r",stdin);
#endif
}signed main(){file();Main();return 0;}