【算法分析與設計】【第二週】4.Median of Two Sorted Arrays

原創

raoyx

2020-02-22 18:46

題目來源： https://leetcode.com/problems/median-of-two-sorted-arrays/description/

題目大意：找出兩個有序數組（升序）nums1和nums2的中位數。其中nums1的大小爲m，nums2的大小爲n。

最近兩週都在學習分治的思想，所以選了這麼一個題作爲應用試試手。

思路大致有這麼幾種：
1.將兩個數組直接合併成一個數組，使用快速排序後，直接求解中位數。這種做法很直接暴力，但沒什麼意思，主要是考察對排序算法的熟悉程度，快排也是利用分治算法的一種排序算法，寫一遍算作對快排算法的一次複習。
時間複雜度O(nlogn)。

//快速排序
void quicksort(int* arr, int left, int right) {
    if (left < right) {
        int i = left, j = right, x = arr[left];
        while (i < j) {
            while(i < j && arr[j] >= x) // 從右向左找第一個小於x的數
                j--; 
            if(i < j)
                arr[i++] = arr[j];        
            while(i < j && arr[i] < x) // 從左向右找第一個大於等於x的數
                i++; 
            if(i < j)
                arr[j--] = arr[i];
        }
        arr[i] = x;
        quicksort(arr, left, i - 1); // 遞歸調用
        quicksort(arr, i + 1, right);
    }
}

double findMedianSortedArrays(int* nums1, int nums1Size, int* nums2, int nums2Size) {
    int arr[nums1Size+nums2Size];
    for (int i = 0; i < nums1Size; i++) {
        arr[i] = *(nums1+i);
    }
    int j = 0;
    for (int i = nums1Size; i < nums1Size+nums2Size; i++) {
        arr[i] = *(nums2+(j++));
    }
    quicksort(arr, 0, nums1Size+nums2Size-1);
    int mid = (nums1Size+nums2Size)*0.5;
    if ((nums1Size+nums2Size)%2 == 1) return arr[mid];
    else return (arr[mid]+arr[mid-1])*0.5;
}

2.巧妙利用兩個數組有序**這一條件，先依次比較兩個數組，小的傳入新的數組。其中短的數組用完了，即全部放入到新數組中去了，那麼長數組中剩下的那一段就可以直接拿來放入到新數組中去了。
時間複雜度O(min{n, m})。

double findMedianSortedArrays(int* nums1, int nums1Size, int* nums2, int nums2Size) {    
    //兩個有序數組的合併函數
    int arr[nums1Size+nums2Size];
    int i = 0, j = 0, k = 0;
    while (i < nums1Size && j < nums2Size) {
        if (*(nums1+i) <= *(nums2+j)) {
            arr[k] = *(nums1+i);
            i++;
        } else {
            arr[k] = *(nums2+j);
            j++;
        }
        k++;
    }
    // 將較長一串的後半截直接放入 
    while(i < nums1Size) 
        arr[k++] = nums1[i++];
    while(j < nums2Size)
        arr[k++] = nums2[j++];          
    int mid = (nums1Size+nums2Size)*0.5;
    if ((nums1Size+nums2Size)%2 == 1) return arr[mid];
    else return (arr[mid]+arr[mid-1])*0.5;
}

3.利用剛剛學過的分治算法（《算法概論》P54），也是先將兩個數組直接合併成一個數組，隨機挑選v。
時間複雜度O(m+n)。

4.巧妙利用中位數的定義。根據中位數的特點，中位數最終將原數組分爲兩個子數組subArr1和subArr2，且**subArr1的所有元素均小於subArr2。
具體來說，對於一個大小爲n的數組arr而言，如果n是偶數，則中位數將該數組分爲等長且長度爲n/2的兩個子數組。如果n是奇數，在這裏，我們用中位數將該數組分爲兩個子數組，小的子數組比大的子數組長度小1。
在本題中，我們要找的中位數，將nums1和nums2數組合並後分爲兩個子數組，那麼兩個子數組subArr1和subArr2的長度關係滿足

l e n (s u b A r r 1) = l e n (s u b A r r 2) = (m + n) * 0.5

或

(l e n (s u b A r r 1)) + 1 = l e n (s u b A r r 2) = (m + n) * 0.5 + 1

。
對於子數組subArr1，我們可以理解成由nums1的某一部分和nums2的某一部分合並組成。因此，我們把nums1分成兩部分，分別爲num1_small和num1_large。nums2同理，分成num2_small和num2_large。由於subArr1中的所有元素均小於subArr2，所以subArr1應該由num1_small和num2_small組成。（當然，也可能出現num1_small或num2_small爲空的現象。）
子數組subArr2同理，由num1_large和num2_large組成。
即

subArr1 = num1_small + num2_small
subArr2 = num1_large + num2_large

用i、j分別把nums1和nums2按上述方式分開。

num1_small = num1[0]+...+num1[i-1]
num1_large = num1[i]+...+num1[m-1]

num2_small = num2[0]+...+num2[j-1]
num2_large = num2[j]+...+num2[n-1]

即

subArr1	subArr2
num1[0]+…+num1[i-1]	num1[i]+…+num1[m-1]
num2[0]+…+num2[j-1]	num2[j]+…+num2[n-1]

根據上面推出的subArr1和subArr2的長度關係，我們很容易得出

i + j = m - i + n - j = (m + n) * 0.5

或

i + j + 1 = m - i + n - j = (m + n) * 0.5 + 1

。
從而得出關係

j = (m + n + 1) * 0.5 - i

以簡化算法。

比較一下4種方法的時間複雜度：

方法	時間複雜度	難度
快排	O(nlogn)	應掌握
利用兩個數組有序	O(min{n, m})	較容易
Selection求第k大的數	O(m+n)	目前還沒寫出來
巧妙利用中位數的定義	O(logmin{n, m})	難