除法取模與逆元

我們經常在做題時會看到這樣一句話：由於答案較大，請輸出答案mod m的結果。（其中m一般爲一個大質數）
我們經常會使用以下幾個等式：

(a+b)≡(amodm+bmodm)(modm)

(a−b)≡(amodm−bmodm+m)(modm)(a>b)

(a×b)≡(amodm×bmodm)(modm)

但是很容易發現，這三個等式中並沒有除法。
那我們怎樣處理除法呢? 這裏就要使用到逆元。

我們定義若b×b1modc=1 ，則稱b1爲b模c的乘法逆元。
並且有 (a÷b)modc=(a×b1)modc 。（其中a÷b 爲整除）

證明（反證法）：
假設b×b1 ，則(a÷b)modc≠(a×b1)
令，a÷b=k1×c+y1 , a×b1=k2×c+y2

<=>若b×b1modc=1 ，則 y1≠y2
兩式相減，則a÷b−a×b1=(k1−k2)×c+(y1−y2)
設 k=k1−k2 ，y=y1−y2
有，a÷b−a×b1=k×c+y
左右乘以b，有 a×(1−b×b1)=k×b×c+b×y
左右模上c，
左邊 =a×(1−b×b1)modc
=(a×(1modc−b×b1modc))modc
=0
右邊 =(k×b×c+b×y)modc
=b×ymodc
a÷b 爲整除，b顯然不會是0，那麼y必須是0，這與命題矛盾，證畢