快速冪

概率

顧名思義，快速冪就是快速算底數的 n 次冪。其時間複雜度爲 O(log₂N)，與樸素的 O(N) 相比效率有了極大的提高。

原理

使用求 a 的 b 次方來解釋。把 b 轉換成二進制數，該二進制數第 i 位的權爲 。例如：，11 的二進制爲 1011，即 ，因此，可以將 轉化爲算 。這樣原來計算 需要計算 11 次，通過快速冪只需要計算 3 次。從而降低了算法的複雜度。

算法思路

使用位運算。

1）當 b 是奇數時，那麼有

2）當 b 是偶數時，那麼有

代碼實現

最樸素的求冪方法

使用簡單的累乘，代碼如下，暫時不考慮數據越界問題。

int Pow(int a, int b){
    int ans = 1;
    for (int i = 0; i<b; i++){
        ans *= a;
    }

    return ans;
}

可以看出，該算法的時間複雜度爲 O(n)。

遞歸版快速冪

int Pow(int a, int b) {
    if (0==b) {
        return 1;
    }
    if (b&1) {
        //b爲奇數
        return a*Pow(a, b-1);
    } else {
        //b爲偶數
        int t = Pow(a, b/2);
        return t*t;
    }
}

可以看出，該算法的時間複雜度爲 O(logb)，也就是 O(logn)。

迭代版快速冪

int Pow(int a, int b) {
    int result=1;
    int base=a;

    while (b) {
        if (b&1) {
            result *= base;
        }
        base *= base;
        b >>= 1;
    }

    return result;
}

可以看出，該算法的時間複雜度爲 O(logb)，也就是 O(logn)。

base *= base解析

因爲 ，下一步再乘，就是 ，然後再乘 ，由此可以推導出 。可以發現指數正是 。

再看上面解析的例子 ，這三項就可以完美解決了。