快速幂

概率

顾名思义，快速幂就是快速算底数的 n 次幂。其时间复杂度为 O(log₂N)，与朴素的 O(N) 相比效率有了极大的提高。

原理

使用求 a 的 b 次方来解释。把 b 转换成二进制数，该二进制数第 i 位的权为 。例如：，11 的二进制为 1011，即 ，因此，可以将 转化为算 。这样原来计算 需要计算 11 次，通过快速幂只需要计算 3 次。从而降低了算法的复杂度。

算法思路

使用位运算。

1）当 b 是奇数时，那么有

2）当 b 是偶数时，那么有

代码实现

最朴素的求幂方法

使用简单的累乘，代码如下，暂时不考虑数据越界问题。

int Pow(int a, int b){
    int ans = 1;
    for (int i = 0; i<b; i++){
        ans *= a;
    }

    return ans;
}

可以看出，该算法的时间复杂度为 O(n)。

递归版快速幂

int Pow(int a, int b) {
    if (0==b) {
        return 1;
    }
    if (b&1) {
        //b为奇数
        return a*Pow(a, b-1);
    } else {
        //b为偶数
        int t = Pow(a, b/2);
        return t*t;
    }
}

可以看出，该算法的时间复杂度为 O(logb)，也就是 O(logn)。

迭代版快速幂

int Pow(int a, int b) {
    int result=1;
    int base=a;

    while (b) {
        if (b&1) {
            result *= base;
        }
        base *= base;
        b >>= 1;
    }

    return result;
}

可以看出，该算法的时间复杂度为 O(logb)，也就是 O(logn)。

base *= base解析

因为 ，下一步再乘，就是 ，然后再乘 ，由此可以推导出 。可以发现指数正是 。

再看上面解析的例子 ，这三项就可以完美解决了。