數論——同餘

理論背景

數學上，兩個整數除以同一個整數，若得相同餘數，則二整數同餘（英文：Modular arithmetic，德文：Kongruenz）。同餘理論常被用於數論中。最先引用同餘的概念與符號者爲德國數學家高斯。同餘理論是初等數論的重要組成部分，是研究整數問題的重要工具之一，利用同餘來論證某些整除性的問題是很簡單的。同餘是數學競賽的重要組成部分。

同餘定理

給定一個正整數 m，如果兩個整數 a 和 b 滿足 m|(a-b)，即 a-b 能夠被 m 整除，或者 (a-b)/m 得到一個整數，那麼就稱整數 a 與 b 對模 m 同餘，記作 a≡b(mod m)。對模 m 同餘是整數的一個等價關係。例如：26≡2(mod 12)。

顯然，有如下事實：

（1）若 a≡0(mod m)，則 m|a；

（2）a≡b(mod m) 等價於 a 與 b 分別用 m 去除，餘數相同。

證明

充分性：m|(a-b) → a≡b(mod m)

設 a=mq1+r1，b=mq2+r2，且 0≤r1, r2<m。

∵ m |(a-b)，又 a-b=m(q1-q2)+(r1-r2)。

∴必有常數 n 使得 (r1-r2)=mn。

則有 m|(r1-r2)。

∵0≤r1, r2<m，

∴0≤|r1-r2|<m，

∴r1-r2=0，

即 r1=r2，故 a≡b(mod m)。

必要性：a≡b(mod m) → m|(a-b)

設 a，b 用 m 去除餘數爲 r，即 a=mq1+r，b=mq2+r。

∵m(q1-q2)=(a-b)，

∴m|(a-b)。

性質

1、反身性：a≡a (mod m)。

2、對稱性：若 a≡b(mod m)，則 b≡a (mod m)。

3、傳遞性：若 a≡b(mod m)，b≡c(mod m)，則 a≡c(mod m)。

4、同餘式相加：若 a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，則 。

5、同餘式相乘：若 a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，則 ac≡bd(mod m)。

6、線性運算：若 a≡b (mod m)，c≡d (mod m)，那麼（1）；（2）a*c≡b*d(mod m)。

7、除法：若 a*c≡b*d(mod m)，則 a≡b(mod m/gcd(c,m))，其中 gcd(c,m) 表示 c 和 m 的最大公約數。特殊地，gcd(c,m)=1 則 a≡b(mod m)。

8、冪運算。若 a≡b (mod m)，那麼 。

9、若 a≡b (mod m)，n=m，則 a≡b (mod n)。

10、若 ，則 ，其中 表示 的最小公倍數。

相關定理

歐拉定理

設 ，則 。

其中 指模 m 的簡繫個數，，如果 m 是素數，則：

。

費馬小定理

若 p 爲素數，則 ，即 （但是 p|a 時不等價）。

中國剩餘定理

設整數 兩兩互素，令 。則對於任意的 j 在 (1,n) 整數，下列聯立的同餘式有解：

令 x 爲 1 到 n， 和 的和，則 x 適合下列聯立同餘式，。

另：求自然數 a 的個位數字，就是求 a 與哪一個一位數對於模 10 同餘。