BZOJ 4503 两个串 FFT

Solution

题目要求:
给定两个串,问第二个串在第一个串的哪些位置出现过
第二个串中有通配符’?’

乍一眼看上去是一个KMP?
但是因为通配符的存在使得nxt$nxt$ 数组直接报废

当然,DP$DP$ 也是可以的
但是自己感受那令人绝望的时间复杂度吧

考虑将其转化为数字串做减法
设第一个串为a$a$ ,第二个串为b$b$ ,长度分别为la,lb$la,lb$
在没有通配符的情况下
若两串在某个位置匹配,则一定有

∑i=xx+lb−1(a[i]−b[i])2=0$$\sum _{i=x}^{x+lb-1}(a[i]-b[i]{)}^2=0$$

拆开

∑i=xx+lb−1a[i]2+b[i]2−2a[i]b[i]=0$$\sum _{i=x}^{x+lb-1}a[i{]}^2+b[i{]}^2-2a[i]b[i]=0$$

发现很好化为卷积和的形式,只需要将b$b$ 反序即可

∑i=x−lb+1xa[i]2+b[x−i]2−2a[i]b[x−i]=0$$\sum _{i=x-lb+1}^{x}a[i{]}^2+b[x-i{]}^2-2a[i]b[x-i]=0$$

PS:这里的x$x$ 换了一下,这是为了卷积方便

所以将a$a$ ,b$b$ 卷积一下即可

现在考虑加入通配符?$?$
我们要求不管是a[i]=b[i]$a[i]=b[i]$ 还是b[i]=′?′$b[i]{=}^{\prime }{?}^{\prime }$ 其结果都是0
那么将整体都乘上一个b[i]$b[i]$ 即可

原式变为

∑i=x−lb+1xa[i]2b[x−i]+b[x−i]3−2a[i]b[x−i]2=0$$\sum _{i=x-lb+1}^{x}a[i{]}^{2}b[x-i]+b[x-i{]}^3-2a[i]b[x-i{]}^2=0$$

并且分析发现,b[x−i]3$b[x-i{]}^3$ 是不需要卷积的
因为若匹配,则b$b$ 的每一位都需要贡献一个b[i]3$b[i{]}^3$ ,所以直接预处理出来

代码如下:

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N =100010;
const double pi=acos(-1);
char str[N];
struct Complex {
    double x;
    double y;
    Complex() {};
    Complex(double _x,double _y) { x=_x;y=_y; }
    Complex operator + (const Complex o) { return Complex(x+o.x,y+o.y); }
    Complex operator - (const Complex o) { return Complex(x-o.x,y-o.y); }
    Complex operator * (const Complex o) { return Complex(x*o.x-y*o.y,x*o.y+y*o.x); }
}a[N<<2],_a[N<<2],b[N<<2],_b[N<<2];
int r[N<<2];
int n,m,L,R,sum;
void fft(Complex *now,int f,int n) {
    for(int i=0;i<n;++i)
        if(i<r[i]) swap(now[i],now[r[i]]);
    for(int i=1;i<n;i<<=1) {
        Complex wn(cos(pi/i),f*sin(pi/i));//w_n^i;
        for(int j=0;j<n;j+=(i<<1)) {
            Complex w(1,0);
            for(int k=0;k<i;++k,w=w*wn) {
                Complex x=now[j+k],y=w*now[j+k+i];
                now[j+k]=x+y;
                now[j+k+i]=x-y;
            }
        }
    }
    if(f==-1)
        for(int i=0;i<n;++i)
            now[i].x/=n;
}
int main() {
    scanf("%s",str);
    R=n=strlen(str);
    for(int i=0;i<n;++i) {
        a[i].x=str[i]-'a'+1;
        _a[i].x=a[i].x*a[i].x;//a^2
    }
    scanf("%s",str);
    L=m=strlen(str);
    for(int i=0;i<m;++i) {
        if(str[i]!='?') b[m-i-1].x=str[i]-'a'+1;
        sum+=b[m-i-1].x*b[m-i-1].x*b[m-i-1].x;//b^3
        _b[m-i-1].x=b[m-i-1].x*b[m-i-1].x;//b^2
    }
    m+=n;
    int nn=0;
    for(n=1;n<=m;n<<=1) nn++;
    for(int i=0;i<n;++i) { r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)<<(nn-1)); }

    fft(_a,1,n);fft(b,1,n);
    for(int i=0;i<=n;++i) { b[i]=_a[i]*b[i]; }
    fft(b,-1,n);
    //*******a^2*b
    fft(a,1,n);fft(_b,1,n);
    for(int i=0;i<=n;++i) { a[i]=a[i]*_b[i]; }
    fft(a,-1,n);
    //*******a*b^2
    for(int i=0;i<=n;++i) {
        a[i].x=(int)(a[i].x+0.5);
        b[i].x=(int)(b[i].x+0.5);
    }
    int times=0;
    for(int i=L-1;i<=R-1;++i)
        if(b[i].x+sum-2*a[i].x==0)
            ++times;
    printf("%d\n",times);
    for(int i=L-1;i<=R-1;++i)
        if(b[i].x+sum-2*a[i].x==0)
            printf("%d\n",i-L+1);
    return 0;
}