MIT 18.06 linear algebra 第十八講筆記

MIT 18.06 linear algebra 第十八講筆記

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第十八課課程要點：

• Determinant detA=|A|$detA=|A|$
• Properties 1-10

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課程首先介紹了關於行列式的十大性質：

• ① detI=1$detI=1$

• ②交換一個行列式的兩行，行列式的值會變號。如置換矩陣detP=1or−1$detP=1or-1$ 。

• ③a性質：∣∣∣tactbd∣∣∣$\left|\begin{array}{cc}ta& tb\\ c& d\end{array}\right|$ =t∣∣∣acbd∣∣∣$t\left|\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right|$

• ③b性質：
  ∣∣∣a+acb+bd∣∣∣$\left|\begin{array}{cc}a+a& b+b\\ c& d\end{array}\right|$ =∣∣∣acbd∣∣∣$\left|\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right|$ +∣∣∣acbd∣∣∣$\left|\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right|$

• ④如果一個行列式中的兩行相等，可以得出det=0$det=0$ 。這個結論很容易證明，如果交換兩行，那麼按照性質②，行列式的值應當改變符號，這裏是沒有改變，那麼只有一種可能，行列式的值爲0。

• ⑤某一行減去另一行的若干倍，行列式的值不變。這裏證明也很簡單：
  ∣∣∣ac−labd−lb∣∣∣$\left|\begin{array}{cc}a& b\\ c-la& d-lb\end{array}\right|$ =∣∣∣acbd∣∣∣$\left|\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right|$ +∣∣∣a−lab−lb∣∣∣$\left|\begin{array}{cc}a& b\\ -la& -lb\end{array}\right|$

• ⑥存在全零行的行列式值爲0
• ⑦ detU=∣∣∣∣∣∣d1000∗d200∗∗d30∗∗∗d4∣∣∣∣∣∣$detU=\left|\begin{array}{cccc}{d}_1& \ast & \ast & \ast \\ 0& d_2& \ast & \ast \\ 0& 0& d_3& \ast \\ 0& 0& 0& d_4\end{array}\right|$ =d1d2d3d4$d_1{d}_2{d}_3{d}_4$ ,這裏的4只是一個例子，對n也成立。

• ⑧當矩陣爲奇異陣時，行列式爲0，而如果矩陣爲非奇異陣時，行列式不爲0。當矩陣不可逆的時候，通過消元法，上三角矩陣U$U$ 進一步可以化爲對角陣D$D$ 。進而行列式等於d1d2d−3......dn$d_1{d}_{2}d-\mathrm{3......}{d}_n$ 。行列式其實就是主元的乘積。

• ⑨ detAB=detAdetB$detAB=detAdetB$ ，det2A=2ndetA$det2A=2^{n}detA$

• ⑩ det(AT)$det(A^T)$ =detA$detA$ ,這個定理告訴我們在行列式中，行和列是等價的，因此上面對行成立的性質對列同樣適用。簡單證明下這個性質：
  |AT|$|A^T|$ =|A|，相當於|UTLT|=|LU|$|U^T{L}^T|=|LU|$ 進而|UT||LT|=|L||U|$|U^T||L^T|=|L||U|$ 。因爲L$L$ 爲下三角矩陣，U$U$ 爲上三角矩陣，因此，|UT|=|U|$|U^T|=|U|$ ,||T|=|L|$|{|}^T|=|L|$ 。反推回去，進而性質成立。