MIT 18.06 linear algebra 第二十三講筆記

MIT 18.06 linear algebra 第二十三講筆記

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第二十三課課程要點：

• Differential Equation dudt=AU$\frac{du}{dt}=AU$
• Exponential eAt$e^{At}$ of a matrix

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本節跳躍有點大，其實好些我也沒懂，先記錄下。

常係數線性方程的解是指數形式的

例子：

{du1dt=−u1+2u2du2dt=u1−2u2$\begin{array}{}\{\begin{array}{l}\frac{d{u}_1}{dt}=-u_1+2u_2\\ \frac{d{u}_2}{dt}=u_1-2u_2\end{array}\end{array}$ , 其中U(0)=[10]$U(0)=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]$ ,首先把方程組寫成dudt=AU$\frac{du}{dt}=AU$ 的形式，那麼矩陣A=[−112−2]$A=\left[\begin{array}{cc}-1& 2\\ 1& -2\end{array}\right]$ 。首先求解矩陣A$A$ 的特徵值與特徵向量。可以解出特徵值爲λ1=0,λ2=3${\lambda }_1=0,{\lambda }_2=3$ ,對應的特徵向量爲x1=[21],x2=[−11]$x_1=\left[\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right],x_2=\left[\begin{array}{c}-1\\ 1\end{array}\right]$ 。

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方程的解爲U(t)=C1eλ1tx1+C2eλ2tx2$U(t)=C_1{e}^{{\lambda }_{1}t}{x}_1+C_2{e}^{{\lambda }_{2}t}{x}_2$ ,因爲上面說dudt=AU$\frac{du}{dt}=AU$ ,所以如果單單將eλ1tx1$e^{{\lambda }_{1}t}{x}_1$ 對t$t$ 求導的話，結構爲λ1eλ1tx1=Aeλ1tx1${\lambda }_1{e}^{{\lambda }_{1}t}{x}_1=A{e}^{{\lambda }_{1}t}{x}_1$

當t=0$t=0$ 時，C1[21]+C2[1−1]=[10]$C_1\left[\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right]+C_2\left[\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]$ ,可以解出C1=C2=13$C_1=C_2=\frac{1}{3}$ 。進而U(t)=13[21]+13[1−1]e−3t$U(t)=\frac{1}{3}\left[\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right]+\frac{1}{3}\left[\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right]e^{-3t}$ 。所以U(∞)=13[21]$U(\mathrm{\infty })=\frac{1}{3}\left[\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right]$ 。

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1. Stability
   當t→∞$t\to \mathrm{\infty }$ 時 U(t)→0$U(t)\to 0$ 需要eλt→0$e^{\lambda t}\to 0$ 因此λ<0$\lambda <0$ 。如果我們求解λ$\lambda$ 是解出其爲複數時，只要複數的實部小於0即可，而不用管虛部如何。在這裏實數部分是重要的。
2. Steady State
   λ1=0${\lambda }_1=0$ 其他的Reλi<0$Re{\lambda }_i<0$ 其中Re$Re$ 用來表示實數部分。

3. Blow up 如果存在 Reλ$Re\lambda$ 大於0.

   對於一個2×2$2\times 2$ 形式的，要達到穩定狀態需要Reλ1<0andReλ2<0$Re{\lambda }_1<0andRe{\lambda }_2<0$
   A=[acbd]$A=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]$ ，矩陣的跡Trace=a+d=λ1+λ2<0$Trace=a+d={\lambda }_1+{\lambda }_2<0$ 。detA=λ1λ2>0$detA={\lambda }_1{\lambda }_2>0$ ,如果僅保證跡小於零依舊有可能出現Blow up。
   例如矩陣[−2001]$\left[\begin{array}{cc}-2& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$ 就會出現Blow up

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dudt=AU$\frac{du}{dt}=AU$ ,矩陣A$A$ 表明u1$u_1$ 與u2$u_2$ 耦合。
這裏讓U=SV$U=SV$ (以特徵向量爲基，把U$U$ 表示爲SV$SV$ )，dudt=SdVdt=ASV$\frac{du}{dt}=S\frac{dV}{dt}=ASV$ 。dVdt=S−1ASV=ΛV$\frac{dV}{dt}=S^{-1}ASV=\mathrm{\Lambda }V$ 。|dvidt=λ1v1|$|\frac{d{v}_i}{dt}={\lambda }_1{v}_1|$ ，各個未知數之間沒有聯繫的方程組存在，也就達到了解耦的目的。
V(t)=eΛtV(0)$V(t)=e^{\mathrm{\Lambda }t}V(0)$ ,U(t)=SeΛtS−1U(0)=eAtU(0)$U(t)=S{e}^{\mathrm{\Lambda }t}{S}^{-1}U(0)=e^{At}U(0)$

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Matrix exponential
eAt=I+At+(At)22+(At)36+⋯+(At)nn!$e^{At}=I+At+\frac{(At{)}^2}{2}+\frac{(At{)}^3}{6}+\cdots +\frac{(At{)}^n}{n!}$ ，這個就是傳說中的泰勒展開，應用到矩陣上的結果。
泰勒展開11−x=∑∞0xn$\frac{1}{1-x}=\sum _0^{\mathrm{\infty }}{x}^n$ ，應用到矩陣上時可以寫爲：(I−At)−1=I+At+(At)2+⋯+(At)n$(I-At{)}^{-1}=I+At+(At{)}^2+\cdots +(At{)}^n$ 。

上面的eAt=I+SΛS−1t+SΛ2S−1t22+⋯+SΛnS−1tnn!=S(I+Λt+Λ2t22+⋯)=SeΛtS−1$e^{At}=I+S\mathrm{\Lambda }{S}^{-1}t+\frac{S{\mathrm{\Lambda }}^2{S}^{-1}{t}^2}{2}+\cdots +\frac{S{\mathrm{\Lambda }}^n{S}^{-1}{t}^n}{n!}=S(I+\mathrm{\Lambda }t+\frac{{\mathrm{\Lambda }}^2{t}^2}{2}+\cdots )=S{e}^{\mathrm{\Lambda }t}{S}^{-1}$ 。

eΛt=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢eλ10⋮00eλ1⋮0⋯⋯⋱⋯00⋮eλnt⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥$e^{\mathrm{\Lambda }t}=\left[\begin{array}{cccc}{e}^{{\lambda }_1}& 0& \cdots & 0\\ 0& e^{{\lambda }_1}& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & e^{{\lambda }_{n}t}\end{array}\right]$ ,其中Λ$\mathrm{\Lambda }$ 是由特徵值組成的對角陣，且Reλ<0$Re\lambda <0$ 就能收斂。

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下面是一個複數平面：

圖中的圓形區域是矩陣冪的穩定區域，在該區域內特徵值的絕對值小於1。灰色區域矩陣的冪收斂於0。

y′′+by′+ky=0$y^{{}^{″}}+b{y}^{{}^{\prime }}+ky=0$ 怎麼把這個二階線性方程化爲一階的呢？可以想想前面一節斐波那契數列的例子。令U=[y′y]$U=\left[\begin{array}{c}{y}^{{}^{\prime }}\\ y\end{array}\right]$ ,因此U′=[y′′y′]=[−b1−k0][y′y]$U^{{}^{\prime }}=\left[\begin{array}{c}{y}^{{}^{″}}\\ y^{{}^{\prime }}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-b& -k\\ 1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{y}^{{}^{\prime }}\\ y\end{array}\right]$

以上內容看上去挺亂的，還需後面再整理。