1 概述
上一課講解了矩陣與向量之間的乘法,這一課主要講矩陣與矩陣的乘法,並對逆矩陣進行詳細介紹。
2 矩陣乘法
在矩陣乘法中,需要注意A的列數必須等於B的行數。
Am∗n⎣⎡147258369⎦⎤Bn∗p⎣⎡963852741⎦⎤=Cm∗p⎣⎡c11c21c31c12c22c32c1354c33⎦⎤
方法一 行列點乘法
Cij=k=1∑nAikBjk 即C中第i行j列的元素等於A中第i行與B中第j列的點乘。
C23=Arow2Bcol3=A21B13+A22B23+A23B33=4∗7+5∗4+6∗1=28+20+6=54=k=1∑nA2kBk3
方法二 列方法
整列考慮,C中的各列是A中各列的線性組合。B的一個列向量乘以A(矩陣A各列向量的線性組合)得到C的對應列向量,此過程其餘列向量暫不參與計算。
Ccol1=ABcol1=B11Acol1+B12Acol2+B13Acol3=⎣⎡147258369⎦⎤⎣⎡963⎦⎤=9⎣⎡147⎦⎤+6⎣⎡258⎦⎤+3⎣⎡369⎦⎤=⎣⎡93663⎦⎤+⎣⎡123048⎦⎤+⎣⎡91827⎦⎤=⎣⎡3084138⎦⎤
方法三 行方法
整行考慮,C中的各行是B中各行的線性組合。A的一個行向量乘以B(矩陣B各行向量的線性組合)得到C的對應行向量,此過程其餘行向量暫不參與計算。
Crow1=Arow1B=A11Brow1+A12Brow2+A13Brow3=[123]⎣⎡963852741⎦⎤=1[987]+2[654]+3[321]=[987]+[12108]+[963]=[302418]
方法四 列*行
A各列與B各行乘積之和,例如A中第一列乘以B中第一行會得到一個矩陣,最後將各矩陣相加。
C=Acol1Brow1+Acol2Brow2+Acol3Brow3=⎣⎡147258369⎦⎤⎣⎡963852741⎦⎤=⎣⎡147⎦⎤[987]+⎣⎡258⎦⎤[654]+⎣⎡369⎦⎤[321]=⎣⎡936638325672849⎦⎤+⎣⎡12304810254082032⎦⎤+⎣⎡9182761618369⎦⎤=⎣⎡30841382473114185490⎦⎤
方法五:分塊乘法
將矩陣A,B分成能夠相互匹配的塊,然後對應塊進行行列點乘法。
[A1A3A2A4][B1B3B2B4]=[C1C3C2C4]C1=A1B1+A2B3
3 逆矩陣
對於一個方陣A,如果A可逆,就有一個A−1,使
A−1A=I=AA−1(1)
公式(1)中I爲單位矩陣,既左逆矩陣等於右逆矩陣
如果A非方陣: 左逆A−1A=右逆AA−1。因爲這時左右側A−1的形狀一定不相同。
3.1 奇異矩陣:(沒有逆的情況)
A[1236]X=I
矩陣A是否存在逆矩陣?從列組合的方面來考慮:矩陣I的列向量是矩陣A列向量的線性組合,即a[12]+b[36]=c[12],很明顯結果並不爲I的某一列,因爲單位矩陣中一列只有一個元素爲1,其餘元素均爲0。
如果存在非零向量X,使得AX=0,A沒有逆矩陣。假如A有逆,由A−1Ax=Ix=0,可知矛盾。
3.2 非奇異矩陣
A[1237]A−1[abcd]=I[1001]
$ AA^{-1}{colj} = I{colj} ,A乘以其逆的第j列等於單位陣的第j$列
[1237][ab]=[10][1237][cd]=[01]
3.3 高斯-若爾當
如何求解一個方陣的逆?一般的方法,就是假設出A−1中的元素,然後就是求解一個線性方程組的過程。更好的方式是將兩個矩陣放在一起考慮 (A,I),同時對兩個矩陣進行變換求逆矩陣。
[12371001]E21[10311−201]E12[10017−2−31]
用消元的思想表示上面的過程:
E(A,I)=(EA,EI)=(I,A−1)