MIT 18.06 linear algebra 第二十二講筆記

MIT 18.06 linear algebra 第二十二講筆記

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第二十二課課程筆記

• Diagonaliging a matrix S−1AS=Λ$S^{-1}AS=\mathrm{\Lambda }$
• Powers of A | equation Uk+1=AUk$U_{k+1}=A{U}_k$

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假設A$A$ 有n$n$ 個獨立的特徵向量,現在我們把它們作爲列向量塞進矩陣S$S$ 。AS=A[x1x2⋯xn]=[λ1x1λ2x2⋯λnxn]=$AS=A\left[\begin{array}{cccc}{x}_1& x_2& \cdots & x_n\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}{\lambda }_1{x}_1& {\lambda }_2{x}_2& \cdots & {\lambda }_n{x}_n\end{array}\right]=$

[x1x2⋯xn]⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢λ10⋮00λ2⋮0⋯⋯⋱⋯00⋮λn⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥=SΛ$\left[\begin{array}{cccc}{x}_1& x_2& \cdots & x_n\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}{\lambda }_1& 0& \cdots & 0\\ 0& {\lambda }_2& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & {\lambda }_n\end{array}\right]=S\mathrm{\Lambda }$ 。
進而我們可以得出S−1AS=Λ$S^{-1}AS=\mathrm{\Lambda }$ 。這個過程稱爲矩陣的對角化。A=SΛS−1$A=S\mathrm{\Lambda }{S}^{-1}$ 這是另一種矩陣分解的方式。對角陣即特徵值沿對角線排列組成的矩陣。

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如果Ax=λx$Ax=\lambda x$ ，那麼A2x=λAx=λ2x$A^{2}x=\lambda Ax={\lambda }^{2}x$ 。A2=SΛS−1SΛS−1=SΛ2S−1$A^2=S\mathrm{\Lambda }{S}^{-1}S\mathrm{\Lambda }{S}^{-1}=S{\mathrm{\Lambda }}^2{S}^{-1}$ ，繼而Ak=SΛkS−1$A^k=S{\mathrm{\Lambda }}^k{S}^{-1}$ 。當然這些成立的前提條件就是矩陣A$A$ 存在n$n$ 個互相獨立的特徵值。如果不存在n$n$ 個相互獨立的特徵向量，矩陣就不能對角化。

如果Ak$A^k$ 趨近於0，由於其可以被拆解爲SΛkS−1$S{\mathrm{\Lambda }}^k{S}^{-1}$ ,因此只有所有的|λi|<1$|{\lambda }_i|<1$ 纔行。

如果矩陣A$A$ 有n$n$ 個不相同的特徵值（無重複），那麼A$A$ 一定有n$n$ 個相互獨立的特徵向量，因此矩陣可以被對角化。存在重複的特徵值，不一定不能被對角化。它有可能存在n$n$ 個相互獨立的特徵向量。

如果矩陣A$A$ 就是對角陣，那麼對其對角化有A=Λ$A=\mathrm{\Lambda }$ 。

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如果有下等式Uk+1=AUk$U_{k+1}=A{U}_k$ 。起始值爲U0$U_0$ , U1=AU0$U_1=A{U}_0$ ，這種方程稱之爲一階差分方程。首先我們可以把起始值U0$U_0$ 寫爲U0=C1x1+C2x2+⋯+Cnxn$U_0=C_{1}x1+C_{2}x2+\cdots +C_n{x}_n$ 。又可以把AU0$A{U}_0$ 寫爲C1λx1+C2λx2+⋯+Cnλxn$C_1\lambda x1+C_2\lambda x2+\cdots +C_n\lambda x_n$ ,進而有AkU0=C1λkx1+C2λkx2+⋯+Cnλkxn$A^k{U}_0=C_1{\lambda }^{k}x1+C_2{\lambda }^{k}x2+\cdots +C_n{\lambda }^k{x}_n$

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再看一個關於斐波那契數列的例子：
0，1，1，2，3，5，8，13….，從第三項開始，每項的值等於前兩項之和。我們用F1,F2,F3,…,Fn$F_1,F_2,F_3,\dots ,F_n$ 來表示斐波那契數列的每一項。根據規律有Fk+2=Fk+Fk+1$F_{k+2}=F_k+F_{k+1}$ 。這時候就要用到一個小技巧了。我們可以看到這個遞推公式是二階差分方程，我們最好想辦法將其轉換爲一階差分方程。

解：令Uk=[Fk+1Fk]$U_k=\left[\begin{array}{c}{F}_{k+1}\\ F_k\end{array}\right]$ 。有{Fk+2=Fk+1+FkFk+1=Fk+1$\{\begin{array}{l}{F}_{k+2}=F_{k+1}+F_k\\ F_{k+1}=F_{k+1}\end{array}$ ，因而有[Fk+2Fk+1]=[1110][Fk+1Fk]$\left[\begin{array}{c}{F}_{k+2}\\ F_{k+1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{F}_{k+1}\\ F_k\end{array}\right]$

求解矩陣[1110]$\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right]$ 的特徵值與特徵向量，進而可以求得λ=1±5√2$\lambda =\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}$ 。[1−λ11−λ]x=0$\left[\begin{array}{cc}1-\lambda & 1\\ 1& -\lambda \end{array}\right]x=0$ ,將[λ1]$\left[\begin{array}{c}\lambda \\ 1\end{array}\right]$ 就是特徵向量，代入即可。