MIT 18.06 linear algebra 第十九講筆記

MIT 18.06 linear algebra 第十九講筆記

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第十九課課程要點

• Formula for det A（n! terms）
• Cofactor formula
• Tridiagonal Matrix

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求解行列式的方法：以二階行列式爲例

∣∣∣acbd∣∣∣=∣∣∣ac0d∣∣∣+∣∣∣0cbd∣∣∣+∣∣∣ac00∣∣∣+∣∣∣dd00∣∣∣+∣∣∣0cb0∣∣∣+∣∣∣00bd∣∣∣=ad−bc(1)$$\begin{array}{}\text{(1)}& \left|\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}a& 0\\ c& d\end{array}\right|+\left|\begin{array}{cc}0& b\\ c& d\end{array}\right|+\left|\begin{array}{cc}a& 0\\ c& 0\end{array}\right|+\left|\begin{array}{cc}d& 0\\ d& 0\end{array}\right|+\left|\begin{array}{cc}0& b\\ c& 0\end{array}\right|+\left|\begin{array}{cc}0& b\\ 0& d\end{array}\right|=ad-bc\end{array}$$

這種求解方法主要是用了前面學到的關於行列式的性質。從上面的式子中我們可以看出，全零行的行列式爲0，因此將一個n×n$n\times n$ 的行列式將其按上面方法進行拆解，可以拆出nn$n^n$ 個。但是隻有每行每列都有數字存在的行列式纔對結果又影響。

下面是對於三階行列式：

∣∣∣∣a11a21a31a12a22a32a13a23a33∣∣∣∣=∣∣∣∣a11000a22000a33∣∣∣∣+∣∣∣∣a110000a320a230∣∣∣∣+∣∣∣∣0a210a120000a33∣∣∣∣+$$\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& 0& 0\\ 0& a_{22}& 0\\ 0& 0& a_{33}\end{array}\right|+\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& 0& 0\\ 0& 0& a_{23}\\ 0& a_{32}& 0\end{array}\right|+\left|\begin{array}{ccc}0& a_{12}& 0\\ a_{21}& 0& 0\\ 0& 0& a_{33}\end{array}\right|+$$

∣∣∣∣00a31a12000a230∣∣∣∣+∣∣∣∣0a21000a32a1300∣∣∣∣+∣∣∣∣00a310a220a1300∣∣∣∣=$$\left|\begin{array}{ccc}0& a_{12}& 0\\ 0& 0& a_{23}\\ a_{31}& 0& 0\end{array}\right|+\left|\begin{array}{ccc}0& 0& a_{13}\\ a_{21}& 0& 0\\ 0& a_{32}& 0\end{array}\right|+\left|\begin{array}{ccc}0& 0& a_{13}\\ 0& a_{22}& 0\\ a_{31}& 0& 0\end{array}\right|=$$

a11a22a33−a11a23a32−a12a21a33+a12a23a31+a13a21a32−a13a22a31(3)$$\begin{array}{}\text{(3)}& a_{11}{a}_{22}{a}_{33}-a_{11}{a}_{23}{a}_{32}-a_{12}{a}_{21}{a}_{33}+a_{12}{a}_{23}{a}_{31}+a_{13}{a}_{21}{a}_{32}-a_{13}{a}_{22}{a}_{31}\end{array}$$

從上面的推導中我們可以得出，當我們把一個n階行列式拆成nn$n^n$ 個時，只有含有非零行（列）的行列式不爲0。因此detA=∑±a1αaaβ......anω$detA=\sum \pm a_{1\alpha }{a}_{a\beta }......a_{n\omega }$ ,其中α,β,......ω$\alpha ,\beta ,......\omega$ 是1,2,−−n$1,2,--n$ 的一種排序。這種項數一共有n!$n!$ 項。因爲第一行有n種選擇，選定了第一行後，第二行就只有n-1中選擇，以此類推。得出一共有n!$n!$ 項。

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代數餘子式
上面的三階行列式可以把a11a22a33−a11a23a32−a12a21a33+a12a23a31+a13a21a32−a13a22a31$a_{11}{a}_{22}{a}_{33}-a_{11}{a}_{23}{a}_{32}-a_{12}{a}_{21}{a}_{33}+a_{12}{a}_{23}{a}_{31}+a_{13}{a}_{21}{a}_{32}-a_{13}{a}_{22}{a}_{31}$ 寫爲a11(a22a33−a23a32)+a12(−a21a33+a23a31)+a13(a21a32−a22a31)$a_{11}(a_{22}{a}_{33}-a23a_{32})+a_{12}(-a_{21}{a}_{33}+a_{23}{a}_{31})+a_{13}(a_{21}{a}_{32}-a_{22}{a}_{31})$ 。

∣∣∣∣a11000a22a320a23a33∣∣∣∣+∣∣∣∣0a21a31a12000a23a33∣∣∣∣+∣∣∣∣0a21a310a22a32a1300∣∣∣∣$$\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& 0& 0\\ 0& a_{22}& a_{23}\\ 0& a_{32}& a_{33}\end{array}\right|+\left|\begin{array}{ccc}0& a_{12}& 0\\ a_{21}& 0& a_{23}\\ a_{31}& 0& a_{33}\end{array}\right|+\left|\begin{array}{ccc}0& 0& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& 0\\ a_{31}& a_{32}& 0\end{array}\right|$$

aij$a_{ij}$ 代數餘子式就是上面公式裏面所有含aij$a_{ij}$ 的項之和。等於原行列式除aij$a_{ij}$ 所在行和所在列組成的行列式。代數餘子式之所以有“代數”二字是因爲它的符號，代數餘子式的符號與它是誰的代數餘子式有關。例如a11$a_{11}$ 的代數餘子式就是正的，因爲其下標之和爲偶數。a12$a_{12}$ 的代數餘子式爲負數因爲其下標之和爲奇數。上面如∣∣∣a22a32a23a33∣∣∣$\left|\begin{array}{cc}{a}_{22}& a_{23}\\ a_{32}& a_{33}\end{array}\right|$ 就是餘子式。
代數餘子式的公式：detA=a11C11+a12C12+a13C13$detA=a_{11}{C}_{11}+a_{12}{C}_{12}+a_{13}{C}_{13}$

例子：

⎡⎣⎢⎢⎢1100111001110011⎤⎦⎥⎥⎥$$\left[\begin{array}{cccc}1& 1& 0& 0\\ 1& 1& 1& 0\\ 0& 1& 1& 1\\ 0& 0& 1& 1\end{array}\right]$$

其中|A1|=1$|A_1|=1$ ,|A2|=0$|A_2|=0$ ,|A3|=−1$|A_3|=-1$ ,我們可以進而得到|A4|=|A3|−|A2|$|A_4|=|A_3|-|A_2|$ 。根據這個規律我們可以的出這類行列式的規則爲|An|=|An−1|−|An−2|$|A_n|=|A_{n-1}|-|A_{n-2}|$