MIT 18.06 linear algebra 第二十講筆記

MIT 18.06 linear algebra 第二十講筆記

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第二十課課程筆記：

• Formula for A−1$A^{-1}$
• Cramers Rule for x=A−1b$x=A^{-1}b$
• |Det A| = volume of box

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二階矩陣的逆矩陣爲：[acbd]−1=1ad−bc[d−c−ba]${\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]}^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\left[\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right]$ ,其中−b$-b$ 爲c$c$ 的代數餘子式。

從上面的二階矩陣逆的公式我們可以推測：A−1=1detA[CT]$A^{-1}=\frac{1}{detA}\left[\begin{array}{c}{C}^T\end{array}\right]$ ，其中C$C$ 爲矩陣A$A$ 的代數餘子式組成的矩陣。CT$C^T$ 一般被稱爲伴隨矩陣。

下面證明下：ACT=(detA)I$A{C}^T=(detA)I$

⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢a11a21⋮an1a12a22⋮an2⋯⋯⋱⋯a1na2n⋮ann⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢C11C12⋮C1nC21C22⋮C2n⋯⋯⋱⋯Cn1Cn2⋮Cnn⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢detA0⋮00detA⋮0⋯⋯⋱⋯00⋮detA⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥=(detA)I(1)$$\begin{array}{}\text{(1)}& \left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}{C}_{11}& C_{21}& \cdots & C_{n1}\\ C_{12}& C_{22}& \cdots & C_{n2}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ C_{1n}& C_{2n}& \cdots & C_{nn}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}detA& 0& \cdots & 0\\ 0& detA& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & detA\end{array}\right]=(detA)I\end{array}$$

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克萊姆法則(CRAMER’s RULE)

如果矩陣A$A$ 可逆Ax=b$Ax=b$ ，x=A−1b=1detACTb$x=A^{-1}b=\frac{1}{detA}{C}^{T}b$ ,x$x$ 中的分量如x1=CT1bdetA=B1detA$x_1=\frac{C_1^{T}b}{detA}=\frac{B_1}{detA}$ ，其中CT1$C_1^T$ 表示CT$C^T$ 的第一行。

下面將CTb$C^{T}b$ 矩陣展示出來：

⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢C11C12⋮C1nC21C22⋮C2n⋯⋯⋱⋯Cn1Cn2⋮Cnn⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎢b1b2⋮bn⎤⎦⎥⎥⎥⎥(2)$$\begin{array}{}\text{(2)}& \left[\begin{array}{cccc}{C}_{11}& C_{21}& \cdots & C_{n1}\\ C_{12}& C_{22}& \cdots & C_{n2}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ C_{1n}& C_{2n}& \cdots & C_{nn}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ ⋮\\ b_n\end{array}\right]\end{array}$$

由上面的公式(2)可知，CT1b=C11b1+C21b2+⋯+Cn1bn$C_1^{T}b=C_{11}{b}_1+C_{21}b2+\cdots +C_{n1}{b}_n$ 。在前面的課程中我們學到了關於代數餘子式的公式detA=ai1Ci1+ai2Ci2+⋯+ainCin$detA=a_{i1}{C}_{i1}+a_{i2}{C}_{i2}+\cdots +a_{in}{C}_{in}$ 。因爲C11,C21,⋯,Cn1$C_{11},C_{21},\cdots ,C_{n1}$ 對應於矩陣A$A$ 中第一列的代數餘子式。如果我們將矩陣A$A$ 按照第一列拆解就是a11C11+a21C21+⋯+an1Cn1$a_{11}C11+a_{21}{C}_{21}+\cdots +a_{n1}Cn1$ 。因此我們可以看出CT1b$C_1^{T}b$ 其實就是矩陣A$A$ 中第一列被換爲b$b$ 後的行列式的值。B1=[b|n−1columnsofA]$B_1=\left[\begin{array}{ccc}b& |& n-1columnsofA\end{array}\right]$ 。進而得出Bj$B_j$ 就是矩陣A$A$ 的第j$j$ 列被置換爲b$b$ 。xj=detBjdetA$x_j=\frac{det{B}_j}{detA}$

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|detA|=$|detA|=$ volume of box

如果A$A$ 是單位陣，很容易理解矩陣中三個向量構成的box的體積就等於行列式的值1。如果A=Q$A=Q$ 單位正交矩陣，那麼就相當於將box，繞原點旋轉，因此體積依舊等於行列式的值1(det(QT)det(Q)=1$det(Q^T)det(Q)=1$ )。

如果是長方形的box,那麼[a+a†cb+b†d]=[acbd]+[a†cb†d]$\left[\begin{array}{cc}a+a^{†}& b+b^{†}\\ c& d\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}{a}^{†}& b^{†}\\ c& d\end{array}\right]$ 。長方形的box可以切成幾個cube。然後按照立方體的計算方法計算。

如果是六面體的話，底面積爲detA=ad−bc$detA=ad-bc$ 。相應的三角形的面積爲ad−bc2$\frac{ad-bc}{2}$

如果任意給定一個三角形，三個頂點的座標時，它的面積等於12∣∣∣∣x1x2x3y1y2y3000∣∣∣∣$\frac{1}{2}\left|\begin{array}{ccc}{x}_1& y_1& 0\\ x_2& y_2& 0\\ x_3& y_3& 0\end{array}\right|$ 。