在數學的發展史上，特別是在近現代的數學進程中，有名的數學大師，他們最推崇的就是如何找到最根本的創新，如何找到更有力的更高階的數學理論和數學工具，以解決新的問題，或代替原來陳舊、繁雜的方法解決老的數學問題。
請注意，這裏是最根本的創新，不是小打小鬧。舉一些真正配得上叫創新的例子：大如數學符號化、微積分、矩陣、解析幾何、羣環域這些理論或工具；小如一些重要的定理的發現，比如複數域上的歐拉公式、Lagrange中值定理、L’Hospital法則，等等。
從17世紀60年代，微積分發明以來，數學得到了極大的發展，分支愈來愈多。開始時，一些大數學家，對各個分支都懂，並作出了很多重大貢獻，這些人我們叫做全能數學家，如Gausss、Euler、Hilbert、Legendre等；但是，數學的分支愈分愈細，全面懂得各個分支的數學家愈來愈少。對此，20世紀最偉大數學家 Hilbert 在19、20世紀交接的時候，提出了一個論點：“然而，我們不禁要問，隨着數學知識的不斷擴展，單個的研究者想要了解這些知識的所有部門，豈不是變得不可能了嗎？爲了回答這個問題，我想指出：數學中每一步真正的進展都與更有力的工具和更簡單的方法的發現密切聯繫着，這些工具和方法同時會有助於理解已有的理論並把陳舊的、複雜的東西拋到一邊。數學科學的這種特點是根深蒂固的。因此，對於個別的數學工作者來說，只要掌握了這些有利的工具和簡單的方法，他就有可能在數學的各個分支中比其它科學更容易地找到前進的道路”。
絕大部分有名的數學家，比如龔升教授（華老弟子），就非常認同這個說法，龔教授鼓勵年輕的數學工作者去仔細揣摩高級的數學如何替代低級的數學，鼓勵我們去創新高級的數學。
上面兩位的觀點，其實從側面回答了，爲什麼數學的分支越來越細，細到幾乎沒有數學家可以全盤掌握所有的數學科目？這個原因在一定程度上是由於比現在的數學體系更高級的數學理論或工具還沒有出現，一旦出現了，現在的大部分數學分支也許就一下子整合到一起了。
所以，他們鼓勵後來人去發現最根本的更高級的數學理論和數學工具。以解決新的問題、以及代替低級的數學。
本博文系列，從一些具體的小例子，來闡述高級數學的魅力。要麼是它們解決了新的問題，要麼是它們替代了老的、複雜的、低級的數學方法。以希望從中得到一些啓發。
1. 傳統的方法證明等價無窮小
下面的截圖，給出了傳統方法證明一些等價無窮小，在證明中，對於每一對等價無窮小，我們都要想一個對應的方法，甚至有的方法捎帶着一些小技巧，需要一定的時間才能想到，如果想不到，這個證明可能就做不出來了。
可以看到，在上面的證明中，確實有一些小技巧。特別是第一個例子，還映射到了幾何圖形上。
下面介紹L’Hostpital法則的由來和利用。
2. L’Hostpital法則
3. L’Hospital法則的證明
證明具體參考陳紀修等的《數學分析》第二版教材。這裏大體說一下關鍵的思路和用到的理論：
導數的定義-->Fermat引理-->Role定理-->Cauchy中值定理-->L'Hospital法則-->證明結束4. L’Hospital法則證明上面的等價無窮小
5. 總結
中值定理就是高級的數學，由它推出了高級的數學工具：L’Hospital法則。
一切都是多麼的優美！
一切盡在高級數學中！
這就是高級數學的簡單、有力、和一統天下！
參考文獻:
1，龔升教授：《微積分五講》
2，陳紀修等：《數學分析》第二版，高教出版社