轉自：http://comzyh.tk/blog/archives/568/
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“網絡流博大精深”—sideman語
一個基本的網絡流問題
感謝WHD的大力支持
最早知道網絡流的內容便是最大流問題，最大流問題很好理解：
解釋一定要通俗!
如右圖所示,有一個管道系統,節點{1,2,3,4},有向管道{A,B,C,D,E},即有向圖一張. [1]是源點,有無限的水量,[4]是匯點,管道容量如圖所示.試問[4]點最大可接收的水的流量?
這便是簡單的最大流問題,顯然[4]點的最大流量爲50
死理性派請注意:流量是單位時間內的,總可以了吧!
然而對於複雜圖的最大流方法是什麼呢,有EK,Dinic,SAP,etc.下面介紹Dinic算法(看代碼的直接點這)
Dinic 算法
Dinic算法的基本思路:
1. 根據殘量網絡計算層次圖。
2. 在層次圖中使用DFS進行增廣直到不存在增廣路
3. 重複以上步驟直到無法增廣
引自NOCOW,相當簡單是吧...
小貼士:
一般情況下在Dinic算法中,我們只記錄某一邊的剩餘流量.
· 殘量網絡:包含反向弧的有向圖,Dinic要循環的,每次修改過的圖都是殘量網絡,
· 層次圖:分層圖,以[從原點到某點的最短距離]分層的圖,距離相等的爲一層,(比如上圖的分層爲{1},{2,4},{3})
· DFS:這個就不用說了吧...
· 增廣 :在現有流量基礎上發現新的路徑,擴大發現的最大流量(注意:增加量不一定是這條路徑的流量,而是新的流量與上次流量之差)
· 增廣路:在現有流量基礎上發現的新路徑.(快來找茬,和上一條有何不同?)
· 剩餘流量:當一條邊被增廣之後(即它是增廣路的一部分,或者說增廣路通過這條邊),這條邊還能通過的流量.
· 反向弧:我們在Dinic算法中,對於一條有向邊,我們需要建立另一條反向邊(弧),當正向(輸入數據)邊剩餘流量減少I時,反向弧剩餘流量增加I
Comzyh的較詳細解釋(流程) :
Dinic動畫演示
1. 用BFS建立分層圖 注意:分層圖是以當前圖爲基礎建立的,所以要重複建立分層圖
2. 用DFS的方法尋找一條由源點到匯點的路徑,獲得這條路徑的流量I 根據這條路徑修改整個圖,將所經之處正向邊流量減少I,反向邊流量增加I,注意I是非負數
3. 重複步驟2,直到DFS找不到新的路徑時,重複步驟1
注意(可以無視):
· Dinic(其實其他的好多)算法中尋找到增廣路後要將反向邊增加I
· Dinic中DFS時只在分層圖中DFS，意思是說DFS的下一個節點的Dis(距源點的距離)要比自己的Dis大1,例如在圖1中第一個次DFS中,1->2->4 這條路徑是不合法的,因爲Dis[2]=1;Dis[4]=1;
· 步驟2中"獲得這條路徑的流量I "實現:DFS函數有參量low,代表從源點到現在最窄的(剩餘流量最小)的邊的剩餘流量,當DFS到匯點是,Low便是我們要的流量I
對於反向弧(反向邊)的理解:
這一段不理解也不是不可以,對於會寫算法沒什麼幫助,如果你着急,直接無視即可.
先舉一個例子(如右圖):
必須使用反向弧的流網絡
在這幅圖中我們首先要增廣1->2->4->6,這時可以獲得一個容量爲 2的流,但是如果不建立4->2反向弧的話,則無法進一步增廣,最終答案爲2,顯然是不對的,然而如果建立了反向弧4->2,則第二次能進行 1->3->4->2->5->6的增廣,最大流爲3.
Comzyh對反向弧的理解可以說是"偷樑換柱",請仔細閱讀: 在上面的例子中,我們可以看出,最終結果是1->2->5->6和1->2->4->6和 1->3->4->6.當增廣完1->2->4->6(代號A)後,在增廣 1->3->4->2->5->6(代號B),相當於將經過節點2的A流從中截流1(總共是2)走2->5>6,而不走2->4>6了,同時B流也從節點4截流出1(總共是1)走4->6而不是4->2->5->6,相當於AB流做加法.
簡單的說反向弧爲今後提供反悔的機會,讓前面不走這條路而走別的路.
最大流算法一直有一個入門經典題:POJ 1273 或者是UCACO 4_2_1 來自NOCOW(中文) 這兩個是同一個題
給出這道題的代碼
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<set>
#include<map>
#include<queue>
#include<vector>
#include<string>
#define Min(a,b) a<b?a:b
#define Max(a,b) a>b?a:b
#define CL(a,num) memset(a,num,sizeof(a));
#define eps 1e-12
#define inf 0x7fffffff
//freopen("data.txt","r",stdin);
const double pi = acos(-1.0);
typedef __int64 ll;
const int maxn = 300 ;
using namespace std;
int n , m;
int flow[maxn][maxn],dis[maxn] ;//dis[i],表示 到 原點 s 的 層數
int bfs()// 重新 建 圖 （按 層數 建圖）
{
CL(dis,-1);
dis[1] = 0 ;
queue<int>que;
que.push(1);
while(!que.empty())
{
int k = que.front();que.pop() ;
for( int i = 1;i<= n;i++)
{
if(flow[k][i] > 0 && dis[i] < 0 )// 如果 可以 可以到達 但 還沒有 訪問
{
dis[i] = dis[k]+ 1 ;
que.push(i) ;
}
}
}
if(dis[n] > 0) return 1;
else return 0 ;
}
int dfs(int x,int mx)// 查找 路徑上的 最小 的 流量
{
int i , a ;
if(x == n) return mx ;
for(i = 1;i<= n;i++)
{
if(flow[x][i] > 0 && dis[i] == dis[x] + 1 && (a =dfs(i,min(mx,flow[x][i]))))
{
flow[x][i] -= a;
flow[i][x] += a;
return a ;
}
}
return 0 ;
}
int main()
{
//freopen("data.txt","r",stdin);
int i ,s,e,c;
while(scanf("%d%d",&m,&n)!=EOF)
{
CL(flow,0);
for(i = 0 ; i < m;i++)
{
scanf("%d%d%d",&s,&e,&c);
flow[s][e] += c;
}
int ans = 0;
int res;
while(bfs())
{
while(res = dfs(1,inf)) ans+= res ;
}
printf("%d\n",ans);
}
}
更高效的 dinic
hdu 4292 Food
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<set>
#include<map>
#include<queue>
#include<vector>
#include<string>
#define INF 0x3fffffff
#define F(x) (x)
#define N(x) (205+(x))
#define CPN(x) (410+(x))
#define D(x) (615+(x))
#define maxn 250
#define CL(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define Pnum 210
using namespace std;
int next[maxn*20],dis[maxn*10];
int s,e;
int n, fnum ,dnum ,f[maxn],d[maxn],cnt;
struct node
{
int to;
int cap ;
int next ;
}p[200000] ;
int que[maxn*maxn] ,idx;
void add(int x,int y,int cap)// 建邊 注意 反向邊的流量爲 0
{
p[cnt].to = y;
p[cnt].cap = cap ;
p[cnt].next = next[x];
next[x] = cnt++ ;
p[cnt].to = x;
p[cnt].cap = 0;
p[cnt].next = next[y];
next[y] = cnt++ ;
}
int bfs()// 重新 建 圖 （按 層數 建圖）
{
memset(dis,0xff,sizeof(dis)) ;
dis[s] = 0 ;
queue<int>que;
que.push(s);
while(!que.empty())
{
int k = que.front();que.pop() ;
for( int i = next[k];i!=-1;i = p[i].next)
{
int v = p[i].to;
int cap = p[i].cap ;
if(cap > 0 && dis[v] < 0 )// 如果 可以 可以到達 但 還沒有 訪問
{
dis[v] = dis[k]+ 1 ;
que.push(v) ;
}
}
}
if(dis[e] > 0) return 1;
else return 0 ;
}
int dfs(int x,int mx)// 查找 路徑上的 最小 的 流量
{
int i , a ,tf = 0;
if(x == e) return mx ;
for(i = next[x];i!= - 1;i = p[i].next)
{
int v = p[i].to ;
int cap = p[i].cap ;
if(cap > 0 && dis[v] == dis[x] + 1 && (a =dfs(v,min(cap,mx))))
{
p[i].cap -= a;
p[i^1].cap += a;
return a;
}
}
if(!tf) dis[x] = -1;// 沒有 找到 最小流量 ，說明 從這個點到不了 終點 ，所以 標記一下
return tf ;
}
int main()
{
int i , j ;
char c[250] ;
//freopen("data.txt","r",stdin) ;
while(scanf("%d%d%d",&n,&fnum,&dnum)!=EOF)
{
CL(next,-1) ;
cnt = 0;
s = 0;
e = 2000;
for(i = 1 ; i <= fnum;i++)
{
scanf("%d",&f[i]);
}
for(i = 1 ; i<= dnum;i++)
{
scanf("%d",&d[i]) ;
}
for(i = 1; i <= n;i++)// 人 和 吃的
{
scanf("%s",c);
for(j = 0 ; j< fnum ;j++)
{
if(c[j] == 'Y')
{
add(j + 1,i + Pnum,1) ;
}
}
}
for(i = 1; i<= n;i++)// 人 和 喝的
{
scanf("%s",c);
for(j = 0 ; j< dnum ;j++)
{
if(c[j] == 'Y')
{
add(i + Pnum*2,j + Pnum*3 + 1,1) ;
}
}
}
for(i = 1; i <= fnum;i++)//增加源點
{
add(0,i,f[i]) ;
}
for(i = Pnum*3 + 1,j = 1; j <= dnum;i++,j++)//增加 匯點
{
add(i,e,d[j]) ;
}
for(i = 1; i <= n;i++)// 將人 拆分
{
add(i + Pnum,i +Pnum*2,1);
}
int ans = 0;
int res;
while(bfs())
{
while(res = dfs(s,INF)) ans+= res ;
}
printf("%d\n",ans);
}
}