最优算法-LQR-离散时间有限边界

概述

本文介绍离散时间有限范围内的LQR(Linear Quadratic Regulator)算法求解过程.

LQR问题背景

对于一个离散时间系统：
$x_{t+1}=Ax_t + Bu_t,x_0=x_{init}\tag{1}$
其中，$A\in R^{n\times n}$，$B\in R^{n\times m}$

关于最优问题，就在于如何选择合适的$u_0,u_1,...$，使得状态量$x_0,x_1,...$足够小，因此得到好的调节和控制；或者使得$u_0,u_1,...$足够小，以使用更少的能量。这两个量通常相互制约，如果采用更大的输入$u$，就会驱使状态量$x$更快达到0。采用线性二次调节原理可以解决这个问题。

LQR代价函数

为了表示控制系统达到稳定控制所付出的代价，定义如下二次型代价函数：
$J(U)=\sum^{N-1}_{\tau=0}(x^{T}_{\tau}Qx_{\tau} + u^{T}_{\tau}Ru_{\tau})+ x^{T}_{N}Q_{f}x_{N}\tag{2}$
其中函数参数$U = (u_0,u_1,..,u_N)$，并且矩阵$Q,Q_f,R$为正定矩阵，及
$\begin{array}{cl} Q=Q^{T}\geq0,&Q_f=Q_{f}^{T}\geq0,&R=R^{T}>0 \end{array}$

$Q$	$Q_f$	$R$
给定状态代价矩阵	最终状态代价矩阵	输入代价矩阵

• $N$：时间范围(考虑$N = \infty$)
• $x^{T}_{\tau} Q x_{\tau}$：衡量状态偏差
• $u^{T}_{\tau} R u_{\tau}$：衡量输入大小
• $x^{T}_{N} Q_{f} x_{N}$：衡量最终状态偏差
• $Q$，$R$：分别设定状态偏差和输入的相对权重
• $R>0$：意味着任何非零输入都增加$J$的代价

因此，关于LQR问题就是找出使得代价函数$J(U)$最小的一组控制输入$(u_0,u_1,...,u_{N-1})_{lqr}$。

求解LQR方法

本文主要介绍两种求解LQR的方法，分别为最小二乘法和动态规划算法。

最小二乘法

根据公式(1)可知，$x_0$是$X = (x_0,...,x_N)$的线性函数，并且$U = (u_0,...,u_{N-1})$，可以得出如下关系：
$\begin{array}{cl} x_1 &= Ax_0 + Bu_0\\ x_2 &= Ax_1 + Bu_1\\ \vdots\\ x_n &= Ax_{N-1} + Bu_{N-1} \end{array}\tag{3}$
将上述公式(3)逐个带入得
$\begin{array}{cl} x_1 &= Ax_0 + Bu_0\\ x_2 &= A^{2}x_0 + ABu_0 + Bu_1\\ \vdots\\ x_n &= A^{N}x_0 + A^{N-1}Bu_0 + A^{N-2}Bu_1 + \dots+ Bu_{N-1} \end{array} \tag{4}$
整理得
$\left[\begin{array}{cl} x_0\\ x_1\\ \vdots\\ x_N \end{array}\right]= \left[ \begin{array}{cl} 0 & \dots \\ B & 0 & \dots \\ AB & B & 0 & \dots \\ \vdots & \vdots \\ A^{N-1}B & A^{N-2}B & \dots & B \end{array}\right] \left[ \begin{array}{cl} u_0\\ u_1\\ \vdots\\ u_{N-1} \end{array} \right]+ \left[ \begin{array}{cl} I\\ A\\ \vdots\\ A^{N} \end{array} \right]x_0 \tag{5}$
其中
$G=\left[ \begin{array}{cl} 0 & \dots \\ B & 0 & \dots \\ AB & B & 0 & \dots \\ \vdots & \vdots \\ A^{N-1}B & A^{N-2}B & \dots & B \end{array}\right],H=\left[ \begin{array}{cl} I\\ A\\ \vdots\\ A^{N} \end{array} \right]$

等式(5)可以进一步表示为
$X= GU + Hx_0 \tag{6}$
其中，$G\in R^{Nn\times Nm}$，$H\in R^{Nn\times n}$。

从而等式(2)所表示得代价函数可以表示为
$J(U)=\parallel disg(Q^{1/2},\dots,Q^{1/2},Q^{1/2}_{f})(GU+Hx_0)\parallel^2+ \parallel diag(R^{1/2},\dots,R^{1/2})U\parallel^2 \tag{7}$
这就转化成一个求解最小二乘法的问题，其问题大小为$N(n + m)\times Nm$。

动态规划法(Dynamic Programming)

动态规划算法是解决多阶段决策过程最优化的一种有效的数学方法。

值函数

首先定义一个值函数$V_t:R^n \to R$,其中$t=(0,\dots,N)$：
$V_t(z)=\min_{u_t,\dots,u_{N-1}}\Bigl(\sum_{\tau=t}^{N-1}(x^T_\tau Qx_\tau + u^t_\tau Ru_\tau) + x_N^TQ_fx_N\Bigr) \tag{8}$
如果设置$x_t = z$，根据公式(1)的关系，$x_{\tau+1} = Ax_{\tau} + Bu_{\tau}$,并且$\tau=t,\dots,N$。

• $V_t(z)$可以表示在$t$时刻，从状态$z$开始的LQR最小代价值
• $V_0(x_0)$表示在0时刻，从状态$x_0$开始的LQR最小代价值

$V_t$可以表示为二次型的形式，即$V_T(z)=z^TP_tz,其中P_t=P_t^T \geq 0$。当$t=N$时，代价值函数为：
$V_N(z) = z^TQ_f z \tag{9}$
因此$P_N = Q_f$。

根据动态规划原理，等式(8)可以写成如下递归关系式：
$V_t(z)=\min_w\bigl(z^TQz + w^TRw + V_{t+1}(Az+Bw)\bigr)\tag{10}$
其中，

• $z^TQz + w^TRw$：如果$u_t = w$,则代表$t$时刻产生的代价值；
• $V_{t+1}(Az+Bw)$：代表从$t+1$时刻开始，引起的最小代价值；

提取等式(10)中与$w$无关的选项得
$V_t(z)=z^TQz + \min_w\bigl(w^TRw + V_{t+1}(Az+Bw)\bigr)\tag{11}$
等式(11)描述了$V_t(z)$与$V_{t+1}(z)$之间的递归关系。

求极值

假设$V_{t+1}= z^TP_{t+1}z$,并且$P_{t+1}=P^{T}_{t+1} \geq0$,等式(11)可以进一步转化为$P_{t+1}$的形式：
$V_t(z)=z^TQz + \min_w\bigl(w^TRw + (Az+Bw)^TP_{t+1}(Az+Bw)\bigr)\tag{12}$
为了求最小值，对$w$求导，导数为零的点即为最值点。
$2w^TR + 2(Az+Bw)^TP_{t+1}B = 0 \tag{13}$
推导等式(13)，求取$w$:
$\begin{array}{cl} w^TR + z^{T}A^{T}P_{t+1}B+w^{T}B^{T}P_{t+1}B &= 0\\ w^T(R + B^TP_{t+1}B) &= - z^{T}A^{T}P_{t+1}B &\text{(合并同类项并移项)}\\ (R + B^TP_{t+1}B)^Tw &= -B^TP_{t+1}^{T}Az & \text{(转置)}\\ (R + B^TP_{t+1}B)w &= -B^TP_{t+1}Az &(P_{t+1}=P^{T}_{t+1},R=R^T)\\ w &=-(R + B^TP_{t+1}B)^{-1}B^TP_{t+1}Az &\text{(矩阵求逆)} \end{array}\tag{14}$
由等式(14)可知，最优输入为
$w^* =-(R + B^TP_{t+1}B)^{-1}B^TP_{t+1}Az \tag{15}$
将等式(15)带入等式(12)得
$V_t(z)=z^TQz + w^{*T}Rw^* + (Az+Bw^*)^TP_{t+1}(Az+Bw^*)\tag{16}$
对等式(16)化简得
$\begin{array}{cl} V_t(z) &= z^TQz + w^{*T}Rw^* + (Az+Bw^*)^TP_{t+1}(Az+Bw^*)\\ &= z^TQz + w^{*T}Rw^* + z^TA^TP_{t+1}Az + 2z^TA^TP_{t+1}Bw^* + w^{*T}B^TP_{t+1}Bw^*\\ & = z^TQz + z^TA^TP_{t+1}Az + w^{*T}(R+B^TP_{t+1}B)w^* + 2z^TA^TP_{t+1}Bw^*\\ & = z^TQz + z^TA^TP_{t+1}Az\\ &+z^TA^TP_{t+1}B(R + B^TP_{t+1}B)^{-1}(R+B^TP_{t+1}B)(R + B^TP_{t+1}B)^{-1}B^TP_{t+1}Az\\ &-2z^TA^TP_{t+1}B(R + B^TP_{t+1}B)^{-1}B^TP_{t+1}Az\\ &=z^TQz + z^TA^TP_{t+1}Az\\ &+z^TA^TP_{t+1}B(R + B^TP_{t+1}B)^{-1}B^TP_{t+1}Az\\ &-2z^TA^TP_{t+1}B(R + B^TP_{t+1}B)^{-1}B^TP_{t+1}Az\\ &= z^TQz + z^TA^TP_{t+1}Az - z^TA^TP_{t+1}B(R + B^TP_{t+1}B)^{-1}B^TP_{t+1}Az\\ &= z^T(Q + A^TP_{t+1}A - A^TP_{t+1}B(R + B^TP_{t+1}B)^{-1}B^TP_{t+1}A)z\\ &= z^TP_tz \end{array}\tag{17}$
上述公式化简过程中，由于$P_{t+1}=P^{T}_{t+1},R=R^T$，所以$\bigl((R + B^TP_{t+1}B)^{-1}\bigr)^T = (R + B^TP_{t+1}B)^{-1}$。

由等式(17)可知
$P_t = Q + A^TP_{t+1}A - A^TP_{t+1}B(R + B^TP_{t+1}B)^{-1}B^TP_{t+1}A \tag{18}$

求解过程

关于LQR的求解过程，可以采用动态规划算法，依据上述公式(20)的递归关系，反向递推，求出满足一定条件的最小代价值。

1. 确定迭代范围$N$
2. 设置迭代初始值$P_N=Q_f$
3. 循环迭代，$t = N,\dots,1$

$P_{t-1} = Q + A^TP_{t+1}A - A^TP_{t+1}B(R + B^TP_{t+1}B)^{-1}B^TP_{t+1}A$

4. 则反馈系数$K_t = -(R + B^TP_{t+1}B)^{-1}B^TP_{t+1}A$，对于时间$t=0,\dots,N-1$
5. 优化的控制量$u_t^{lqr}=K_tx_t$