卷積

    在泛函分析中，卷積（捲積）、旋積、疊積或摺積，是通過兩個函數f和g生成第三個函數的一種數學算子，表徵函數f與經過翻轉和平移的g的重疊部分的面積。如果將參加卷積的一個函數看作區間的指示函數，卷積還可以被看作是“移動平均”的推廣。

   卷積是分析數學中一種重要的運算。設：,是上的兩個可積函數，作積分：

   可以證明，關於幾乎所有的，上述積分是存在的。這樣，隨着的不同取值，這個積分就定義了一個新函數，稱爲函數與的卷積，記爲。我們可以輕易驗證：，並且仍爲可積函數。這就是說，把卷積代替乘法，空間是一個代數，甚至是巴拿赫代數。

   卷積與傅里葉變換有着密切的關係。例如兩函數的傅里葉變換的乘積等於它們卷積後的傅里葉變換，利用此一性質，能簡化傅里葉分析中的許多問題。

   由卷積得到的函數一般要比和都光滑。特別當爲具有緊支集的光滑函數，爲局部可積時，它們的卷積也是光滑函數。利用這一性質，對於任意的可積函數，都可以簡單地構造出一列逼近於的光滑函數列，這種方法稱爲函數的光滑化或正則化。

   卷積的概念還可以推廣到數列、測度以及廣義函數上去。

   具體定義：

函數f與g的卷積記作，它是其中一個函數翻轉並平移後與另一個函數的乘積的積分，是一個對平移量的函數。

積分區間取決於f與g的定義域。

對於定義在離散域的函數，卷積定義爲

參考：

  維基百科