數值計算——列主元高斯消去法求解線性方程組（附代碼）

目錄

列主元高斯消去法原理

列主元高斯消去法流程圖

C++程序源代碼

實例

運行結果

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列主元高斯消去法原理

          在基本高斯消去法的消元過程中並沒有考慮任何數值方面的問題，事實上這方面的問題是常見的，也是不能忽略的，即當主元,且很小時，高斯消去法雖然能執行下去，但用作爲主元計算行乘數時，會擴大誤差，導致結果不可靠，甚至嚴重失真。

 基本高斯消去法的求解過程如下（具體原理參考https://blog.csdn.net/weixin_41788456/article/details/102485139）：

設Ax=b，,若A的所有順序主子式均不爲零，則基本高斯消元無需換行進行到底，得到唯一解，其消元和回代的計算公式爲：

（1）消元計算     對於

                                                                

                                    

（2）回代計算

                                       

在上面的求解過程中可以看出，適當的改變算法可以有效的提高精度，其基本思想是，在高斯消去法的每一步先選擇一個絕對值最大的元素，在進行行行交換、消元，即變換到第k步時，從第k列的及以下的各元素中選出絕對值最大者，然後通過行變換將它交換到主元素的位置上，再用其消去主對線以下的其他元素，最後變爲同解的上三角形方程組，這種方法稱爲列主元高斯消去法。

列主元高斯消去法流程圖

C++程序源代碼

 

//列主元高斯消去法實現
//開發人員：chenshuai  開發日期：2019.11.24   郵箱：[email protected] 
#include "pch.h"
#include <iostream>//基本數據流輸入/輸出
#include <iomanip> //參數化輸入/輸出 
#include <vector>//STL動態數組容器
using namespace std;
//************************
//列主元高斯消去法公式
//***********************
vector<double> cpe_gaussian_elimination(vector<vector<double>>a, vector<double>b); //高斯消去法求解線性方程組AX=B
vector<double> cpe_gaussian_elimination(vector<vector<double>>a, vector<double>b)
{
	int n = size(b);
	vector<double>x;    //定義方程組解
	x.resize(n);
	vector<double>mi_k; //定義消去過程中的中間變量
	mi_k.resize(n);
	double sum,max=0,c;
	//n-1步消元
	for (int k = 0; k < n - 1; k++)
	{
		//列主元，找到絕對值最大的主元
		if (a[k][k] == 0 || fabs(a[k][k]) < epslion)//列主元的條件就是主元爲0或者主元小於某一個值
		{
		    max = fabs(a[k][k]);
			for (int i = k; i < n; i++)
			{
				if (max < fabs(a[i][k]))
				{
					max = fabs(a[i][k]);
				}
			}
			//交換該行
			for (int i = k; i < n; i++)
			{
				if (max == fabs(a[i][k]))
				{
					for (int j = k; j < n; j++)
					{
						c = a[k][j];
						a[k][j] = a[i][j];
						a[i][j] = c;
					}
					c = b[k];
					b[k] = b[i];
					b[i] = c;
				}
			}
		//求出第i次初等行變換系數
			for (int j = k + 1; j < n; j++)
			{
				mi_k[j] = a[j][k] / a[k][k];
			}
			for (int i = k + 1; i < n; i++)
			{
				for (int j = 0; j < n; j++)
				{
					a[i][j] = a[i][j] - mi_k[i] * a[k][j];
				}
				b[i] = b[i] - mi_k[i] * b[k];
			}
	}	//回代過程
	x[n - 1] = b[n - 1] / a[n - 1][n - 1];
	for (int i = n - 2; i >= 0; i--)
	{
		sum = 0;
		for (int j = i + 1; j < n; j++)
		{
			sum = sum + a[i][j] * x[j];
		}
		x[i] = (b[i] - sum) / a[i][i];
	}
	return x;
}
int main()
{
	int n = 2;
	vector<vector<double>>a;
	a.resize(n, vector<double>(n));
	vector<double>b(n);
	vector<double>x;
	a[0] = { 0.007,-0.8 }, a[1] = {-0.1 ,10};
	b = { 0.7,10};
	x = cpe_gaussian_elimination(a, b);
	cout << "解爲：" << endl;
	for (int i = 0; i < n; i++)
		cout <<"x["<<i<<"]="<< fixed << setprecision(2) << setw(5) << x[i] << endl;
}

實例

用列主元高斯消去法求解線性方程組：

                                                              

運行結果