ST算法求RMQ问题

  转自：http://www.cppblog.com/baby-fly/archive/2009/08/06/92385.html

 RMQ(Range Minimum/Maximum Query)问题是求区间最值问题。可以写一个线段树，但是预处理和查询的复杂度都是O（logn)。这里有更牛的算法，就是ST算法，它可以做到O(nlogn)的预处理，O(1)！！！地回答每个询问。
    来看一下ST算法是怎么实现的(以最大值为例）：
       
    首先是预处理，用一个DP解决。设a[i]是要求区间最值的数列，f[i,j]表示从第i个数起连续2^j个数中的最大值。例如数列3 2 4 5 6 8 1 2 9 7 ,f[1，0]表示第1个数起，长度为2^0=1的最大值，其实就是3这个数。f[1，2]=5，f[1，3]=8，f[2，0]=2，f[2，1]=4……从这里可以看出f[i,0]其实就等于a[i]。这样，Dp的状态、初值都已经有了，剩下的就是状态转移方程。我们把f[i，j]平均分成两段（因为f[i，j]一定是偶数个数字），从i到i+2^(j-1)-1为一段，i+2^(j-1)到i+2^j-1为一段(长度都为2^（j-1）)。用上例说明，当i=1，j=3时就是3,2,4,5 和 6,8,1,2这两段。f[i，j]就是这两段的最大值中的最大值。于是我们得到了动规方程F[i,j]=max（F[i，j-1],F[i+2^(j-i)，j-1]）.
     
    接下来是得出最值，也许你想不到计算出f[i，j]有什么用处，一般毛想想计算max还是要O(logn)，甚至O(n)。但有一个很好的办法，做到了O（1）。还是分开来。如在上例中我们要求区间[2，8]的最大值，就要把它分成[2,5]和[5,8]两个区间，因为这两个区间的最大值我们可以直接由f[2，2]和f[5，2]得到。扩展到一般情况，就是把区间[l，r]分成两个长度为2^n的区间（保证有f[i，j]对应）。直接给出表达式：

 f[i,j] 表示 从第 i 个数数 2^j 中最小的数
那么：
        最大值 f[i,j]=max(f[i,j-1],f[i+2^(j-1),j-1]);
        最小值 f[i,j]=min(f[i,j-1],f[i+2^(j-1),j-1]);

例如：求区间最大值：dp[0][3]=max(dp[0][2],dp[3][1])   

一般化：RMQ(s,t)=max(dp[s][k],dp[t-2^k+1][k])

     k值如何确定？  边界状况：s+2^k -1=t  则k=log(t+1-s)/log(2);

在初始化时，预处理好每一段dp[s][t](t最大为log(n)/log(2))。

又因为在求RMQ(s,t)时，要事先知道dp[s][k],dp[s+2^k][k],例如上图求[0,3]的最值首先要知道dp[0][1] 和dp[2][1] 所以初始化写成

        for(int i=0;i<n;i++)
        Max[i][0]=a[i];
    for(int j=1;j<=k;j++)//此行写在前面~~
    {
      for(int i=0;i<n;i++)
        {
            Max[i][j]=Max[i][j-1];
           if(i+(1<<(j-1))<n)
                Max[i][j]=max(Max[i][j],Max[i+(1<<(j-1))][j-1]);
        }
    }

模板：

POJ 3264

#include <iostream>
#include <math.h>
#define max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))
#define min(a,b) ((a)<(b)?(a):(b))
 
using namespace std;
 
const int maxn=50001;
 int h[maxn];
 int mx[maxn][16],mn[maxn][16];
int n,q;
 
 void rmq_init()
 {
     int i,j;
     for(j=1;j<=n;j++) mx[j][0]=mn[j][0]=h[j];
     int m=floor(log((double)n)/log(2.0));
     for(i=1;i<=m;i++){
         for(j=n;j>0;j--){
             mx[j][i]=mx[j][i-1];
             if(j+(1<<(i-1))<=n) mx[j][i]=max(mx[j][i],mx[j+(1<<(i-1))][i-1]);
         }
    }
    for(i=1;i<=m;i++){
         for(j=n;j>0;j--){
            mn[j][i]=mn[j][i-1];
             if(j+(1<<(i-1))<=n) mn[j][i]=min(mn[j][i],mn[j+(1<<(i-1))][i-1]);
         }
     }
 }
 
 int rmq(int l,int r)
 {
     int m=floor(log((double)(r-l+1))/log(2.0));
    int a=max(mx[l][m],mx[r-(1<<m)+1][m]);
     int b=min(mn[l][m],mn[r-(1<<m)+1][m]);
    return a-b;   
 }
 
 int main()
 {
     int i,l,r;
     scanf("%d%d",&n,&q);
     for(i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&h[i]);
     rmq_init();
     for(i=0;i<q;i++){
         scanf("%d%d",&l,&r);
         printf("%d\n",rmq(l,r));
     }

 }