乘積最大問題——動態規劃
題目來源
題目描述
今年是國際數學聯盟確定的“2000――世界數學年”，又恰逢我國著名數學家華羅庚先生誕辰90週年。在華羅庚先生的家鄉江蘇金壇，組織了一場別開生面的數學智力競賽的活動，你的一個好朋友XZ也有幸得以參加。活動中，主持人給所有參加活動的選手出了這樣一道題目：
設有一個長度爲N的數字串，要求選手使用K個乘號將它分成K+1個部分，找出一種分法，使得這K+1個部分的乘積能夠爲最大。
同時，爲了幫助選手能夠正確理解題意，主持人還舉了如下的一個例子：
有一個數字串：312， 當N=3，K=1時會有以下兩種分法：
1） 3*12=36
2） 31*2=62
這時，符合題目要求的結果是：31*2=62
現在，請你幫助你的好朋友XZ設計一個程序，求得正確的答案。
輸入格式
程序的輸入共有兩行：
第一行共有2個自然數N，K（6≤N≤40，1≤K≤6）
第二行是一個長度爲N的數字串。
輸出格式
結果顯示在屏幕上，相對於輸入，應輸出所求得的最大乘積（一個自然數）。
解題思路
- 創建二維數組 f[][] ,用 f[i][j] 表示前 i 位數包含 j 個乘號所能達到的最大乘積
- 將 i 從 2 到 n 枚舉，表示分割爲前i位數字
- 對每一次分割再次將 a 從 1 到 min(i-1,k) 枚舉，表示前 i 位中含有 a 個乘號
- 將 b 從 a 到 i - 1 進行一次枚舉，表示前 i 位中含有 a 個乘號，且最後一個乘號的位置在 b 處。那麼當最後一個乘號在 b 處時最大值爲前 b 位中含有 a - 1 個乘號的最大值乘上 b 處之後的數字
- 因此得出了狀態轉移方程 f[i][a] = max(f[i][a] , f[b][a-1] * cut(b + 1,i))
——（cut(b + 1,i) 表示 b + 1 到 i 位數字）
源代碼
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
long long f[45][60];
string in;
int n,k;//n位數 k個乘號
long long g[45];
long long cut(int l,int r){
long long end = 0;
for(int i = l;i <= r;i++)
end = end * 10 + g[i];
return end;
}
int main(){
cin >> n >> k >> in;
for(int i = 1;i <= n;i++)
g[i] = in[i - 1] - '0';
for(int i=1;i<=n;i++)
f[i][0] = cut(1,i);
for(int i = 2;i <= n;i++){ //枚舉分割爲前i位數字
for(int a = 1;a <= min(i-1,k);a++){ //枚舉有幾個乘號
for(int b = a;b < i;b++){ //在第幾位放乘號
f[i][a] = max(f[i][a],f[b][a-1] * cut(b + 1,i));
}
}
}
cout<<f[n][k];
return 0;
}