最長不下降子序列——動態規劃

最長不下降子序列——動態規劃

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解法一

1. 時間複雜度 O(n²)；
2. 創建數組f[]，用f[i]表示包含第i個數據的最長不下降子序列的長度
3. 對每一個輸入的數a[i]進行如下操作：
   
   1. 通過遍歷找出k，使得f[k]爲所有滿足 a[k] > a[i] 的值中最大的一個數
   2. 如果存在這樣的k，那麼將a[i]接在a[k]後面可以構成長度爲f[k]+1的不下降子序列，因此將f[i]的值更新爲f[k]+1
   3. 如果不存在這樣的k，就說明a[i]之前不存在任何比他小的數，那麼就將f[i]的值更新爲1

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#include<iostream> 
#include<cstdio>
using namespace std;
int n,f[100005],a[100005];
int getbig(int id){
    int big = 0;
    for(int i = 0;i < id;i++){
        if(a[i] < a[id])
            if(big < f[i])
                big = f[i];
    }
    return big;
}
int main(){
    int big = 0;
    cin >> n;
    for(int i = 0;i < n;i++)
        cin >> a[i];
    for(int i = 0;i < n;i++){
        f[i] = getbig(i) + 1;
        big = max(big,f[i]);
    }
    cout << big;
}

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解法二

1. 時間複雜度 O(nlogn)；
2. 創建數組f[]，用f[i]表示長度爲i的最長不下降子序列的尾值,那麼f[]數組一定是一個有序序列。用變量t表示數組f[]的長度，那麼t的值就是最長不下降子序列的長度
3. 對每一個輸入的數a[i]進行如下操作：
   
   1. 判斷a[i]是否大於f[t]，如果大於f[t]，那麼就說明現在存在一個長度爲t的不下降子序列，且這個子序列的尾值比a[i]小，那麼如果將a[i]接在這個子序列後面，就可以得到一個長度爲t+1的最長不下降子序列,那麼就可以通過a[i]更新f[]數組
   2. 如果a[i]不大於f[t]，那麼在f[]數組中一定存在大於等於a[i]的數，找到一個k，使得f[k]爲f[]數組中大於等於a[i]的數中最小的。那麼f[k-1]定小於a[i]，這說明已經存在了一個長度爲k-1的序列，而且這個序列的尾值小於a[i]。如果將a[i]接在這個序列後面就可以構成一個新的長度爲k的最長不下降子序列，而且這個子序列的尾值小於f[k],那麼就可以用a[i]來更新f[k]

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#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
int f[100005],a,t,n;
int main(){
    cin >> n;
    for(int i = 1;i <= n;i++){
        cin >> a;
        if(a > f[t])
            f[++t] = a;
        else
            *lower_bound(f + 1,f + t + 1,a) = a;
    }
    cout << t;
}

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lower_bound(first,last,value)返回一個 迭代器 它指向在[first,last)標記的有序序列中可以插入value，而不會破壞容器順序的第一個位置，而這個位置標記了一個不小於value 的值 。該函數爲C++ STL內的函數。 ——引自百度百科