首先說下動態規劃，動態規劃這東西就和遞歸一樣，只能找局部關係，若想全部列出來，是很難的，比如漢諾塔。你可以說先把除最後一層的其他所有層都移動到2，再把最後一層移動到3，最後再把其餘的從2移動到3，這是一個直觀的關係，但是想列舉出來是很難的，也許當層數n=3時還可以模擬下，再大一些就不可能了，所以，諸如遞歸，動態規劃之類的，不能細想，只能找局部關係。

1.漢諾塔圖片

（引至杭電課件:DP最關鍵的就是狀態，在DP時用到的數組時，也就是存儲的每個狀態的最優值，也就是記憶化搜索）

要了解揹包，首先得清楚動態規劃：

動態規劃算法可分解成從先到後的4個步驟：

1. 描述一個最優解的結構；

2. 遞歸地定義最優解的值；

3. 以“自底向上”的方式計算最優解的值；

4. 從已計算的信息中構建出最優解的路徑。

其中步驟1~3是動態規劃求解問題的基礎。如果題目只要求最優解的值，則步驟4可以省略。

揹包的基本模型就是給你一個容量爲V的揹包

在一定的限制條件下放進最多(最少?)價值的東西

當前狀態→ 以前狀態

看了dd大牛的《揹包九講》(點擊下載)，迷糊中帶着一絲清醒，這裏我也總結下01揹包，完全揹包，多重揹包這三者的使用和區別，部分會引用dd大牛的《揹包九講》，如果有錯，歡迎指出。(www.wutianqi.com留言即可)

首先我們把三種情況放在一起來看：

01揹包（ZeroOnePack）: 有N件物品和一個容量爲V的揹包。（每種物品均只有一件）第i件物品的費用是c[i]，價值是w[i]。求解將哪些物品裝入揹包可使價值總和最大。

完全揹包(CompletePack): 有N種物品和一個容量爲V的揹包，每種物品都有無限件可用。第i種物品的費用是c[i]，價值是w[i]。求解將哪些物品裝入揹包可使這些物品的費用總和不超過揹包容量，且價值總和最大。

多重揹包(MultiplePack): 有N種物品和一個容量爲V的揹包。第i種物品最多有n[i]件可用，每件費用是c[i]，價值是w[i]。求解將哪些物品裝入揹包可使這些物品的費用總和不超過揹包容量，且價值總和最大。

比較三個題目，會發現不同點在於每種揹包的數量，01揹包是每種只有一件，完全揹包是每種無限件，而多重揹包是每種有限件。

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先來分析01揹包：

這是最基礎的揹包問題，特點是：每種物品僅有一件，可以選擇放或不放。

用子問題定義狀態：即f[i][v]表示前i件物品恰放入一個容量爲v的揹包可以獲得的最大價值。則其狀態轉移方程便是：

f[i][v]=max{ f [i-1][v] , f [i-1][v-c[i]]+w[i] }【注意：轉移方程不包括第i個揹包】

把這個過程理解下：在前i件物品放進容量v的揹包時，

它有兩種情況：

第一種是第i件不放進去，這時所得價值爲:f[i-1][v]

第二種是第i件放進去，這時所得價值爲：f[i-1][v-c[i]]+w[i]

（第二種是什麼意思？就是如果第i件放進去，那麼在容量v-c[i]裏就要放進前i-1件物品）

最後比較第一種與第二種所得價值的大小，哪種相對大，f[i][v]的值就是哪種。

（這是基礎，要理解！）

這裏是用二位數組存儲的，可以把空間優化，用一位數組存儲。

用f[0..v]表示，f[v]表示把前i件物品放入容量爲v的揹包裏得到的價值。把i從1~n(n件)循環後，最後f[v]表示所求最大值。

*這裏f[v]就相當於二維數組的 f[i][v]。那麼，如何得到f[i-1][v]和f[i-1][v-c[i]]+w[i]？（重點！思考）
首先要知道，我們是通過i從1到n的循環來依次表示前i件物品存入的狀態。即：for i=1..N
現在思考如何能在是f[v]表示當前狀態是容量爲v的揹包所得價值，而又使f[v]和f[v-c[i]]+w[i]標籤前一狀態的價值？

逆序！

這就是關鍵！

for i=1..N
   for v=V..0
        f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]};

分析上面的代碼：當內循環是逆序時，就可以保證後一個f[v ]和 f[v-c[i]]+w[i] 是前面狀態的！（ps：的確如此！，反過來想，假如順序的話，那麼就拿i=1時來講，c[0]=1, c[1]=0, c[2]=0, c[3]=4, c[4]=4, c[5]=4, c[6]=8, c[7]=8, c[8]=8, c[9]=12, c[10]=12，明顯是錯的，而逆序就避免了這樣情況~贊！）
這裏給大家一組測試數據：

測試數據：
10,3
3,4
4,5
5,6

這個圖表畫得很好，藉此來分析：

C[v]從物品i=1開始，循環到物品3，期間，每次逆序得到容量v在前i件物品時可以得到的最大值。（請在草稿紙上自己畫一畫）

這裏以一道題目來具體看看：

題目：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2602

代碼：http://www.wutianqi.com/?p=533

分析：

具體根據上面的解釋以及我給出的代碼分析。這題很基礎，看懂上面的知識應該就會做了。

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完全揹包：

完全揹包按其思路仍然可以用一個二維數組來寫出：

`f[i][v]=max{ f[i-1][v-kc[i]]+kw[i] (0<=k*c[i]<=v) }`

同樣可以轉換成一維數組來表示：

僞代碼如下：

for i=1..N
    for v=0..V
        f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]}

順序！

想必大家看出了和01揹包的區別，這裏的內循環是順序的，而01揹包是逆序的。
現在關鍵的是考慮：爲何完全揹包可以這麼寫？
在次我們先來回憶下，01揹包逆序的原因？是爲了是max中的兩項是前一狀態值，這就對了。
那麼這裏，我們順序寫，這裏的max中的兩項當然就是當前狀態的值了，爲何？
因爲每種揹包都是無限的。當我們把i從1到N循環時，f[v]表示容量爲v在前i種揹包時所得的價值，這裏我們要添加的不是前一個揹包，而是當前揹包。所以我們要考慮的當然是當前狀態。
這裏同樣給大家一道題目：

題目：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1114

代碼：http://www.wutianqi.com/?p=535（分析代碼也是學習算法的一種途徑，有時並不一定要看算法分析，結合題目反而更容易理解。）

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多重揹包

這題目和完全揹包問題很類似。基本的方程只需將完全揹包問題的方程略微一改即可，因爲對於第i種物品有n[i]+1種策略：取0件，取1件……取n[i]件。令f[i][v]表示前i種物品恰放入一個容量爲v的揹包的最大權值，則有狀態轉移方程：

`f[i][v]=max{f[i-1][v-kc[i]]+kw[i]|0<=k<=n[i]}`

這裏同樣轉換爲01揹包：

普通的轉換對於數量較多時，則可能會超時，可以轉換成二進制.

【關於多重揹包的優化，貼上DD大牛的原話：

仍然考慮二進制的思想，我們考慮把第i種物品換成若干件物品，使得原問題中第i種物品可取的每種策略——取0..n[i]件——均能等價於取若干件代換以後的物品。另外，取超過n[i]件的策略必不能出現。

方法是：將第i種物品分成若干件物品，其中每件物品有一個係數，這件物品的費用和價值均是原來的費用和價值乘以這個係數。

使這些係數分別爲 1，2，4，...，2^(k-1),n[i]-2^k+1，且k是滿足n[i]-2^k+1>0的最大整數。例如，如果n[i]爲13，就將這種物品分成係數分別爲1,2,4,6的四件物品，這樣的4件物品可以組合成0~13。

分成的這幾件物品的係數和爲n[i]，表明不可能取多於n[i]件的第i種物品。另外這種方法也能保證對於0..n[i]間的每一個整數，均可以用若干個係數的和表示，這個證明可以分0..2^k-1和2^k..n[i]兩段來分別討論得出，並不難，希望你自己思考嘗試一下。

這樣就將第i種物品分成O(log n[i])種物品，將原問題轉化爲了複雜度爲O(V*∑log n[i])的01揹包問題，是很大的改進。

下面給出O(log amount)時間處理一件多重揹包中物品的過程，其中amount表示物品的數量：

procedure MultiplePack(cost,weight,amount)

if cost*amount>=V

CompletePack(cost,weight)

return

integer k=1

while k<num

ZeroOnePack(k*cost,k*weight)

amount=amount-k

k=k*2

ZeroOnePack(amount*cost,amount*weight)

希望你仔細體會這個僞代碼，如果不太理解的話，不妨翻譯成程序代碼以後，單步執行幾次，或者頭腦加紙筆模擬一下，也許就會慢慢理解了。

以poj1014爲例

代碼這裏

】

對於普通的。就是多了一箇中間的循環，把j=0~bag[i]，表示把第i中揹包從取0件枚舉到取bag[i]件。

給出一個例題：

題目：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2191

代碼：http://www.wutianqi.com/?p=537

補充：

分組揹包問題

問題

有N件物品和一個容量爲V的揹包。第i件物品的費用是c[i]，價值是w[i]。這些物品被劃分爲若干組，每組中的物品互相沖突，最多選一件。求解將哪些物品裝入揹包可使這些物品的費用總和不超過揹包容量，且價值總和最大。

[編輯]算法

這個問題變成了每組物品有若干種策略：是選擇本組的某一件，還是一件都不選。也就是說設f[k][v]表示前k組物品花費費用v能取得的最大權值，則有：

   f[k][v]=max{f[k-1][v],f[k-1][v-c[i]]+w[i]|物品i屬於組k}

使用一維數組的僞代碼如下：

for k=1..n
   for v=V..0 // 注意容量放在費用外
       for 所有的i屬於組k
           f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]}

注意這裏的三層循環的順序

"for v=V..0”這一層循環必須在“for 所有的i屬於組k”之外

這樣才能保證每一組內的物品最多隻有一個會被添加到揹包中。原因可參考http://www.cppblog.com/Onway/articles/122695.html

小結

分組的揹包問題將彼此互斥的若干物品稱爲一個組，這建立了一個很好的模型。不少揹包問題的變形都可以轉化爲分組的揹包問題.

二維費用揹包問題

二維費用的揹包問題是指：對於每件物品，具有兩種不同的費用；選擇這件物品必須同時付出這兩種代價；對於每種代價都有一個可付出的最大值（揹包容量）。問怎樣選擇物品可以得到最大的價值。設這兩種代價分別爲代價1和代價2，第i件物品所需的兩種代價分別爲a[i]和 b[i]。兩種代價可付出的最大值（兩種揹包容量）分別爲V和U。物品的價值爲w[i]。
費用加了一維，只需狀態也加一維即可。設f[i][v][u]表示前i件物品付出兩種代價分別爲v和u時可獲得的最大價值。狀態轉移方程就是：
f[i][v][u]=max{f[i-1][v][u],f[i-1][v-a[i]][u-b[i]]+w[i]}
如前述方法，可以只使用二維的數組：當每件物品只可以取一次時變量v和u採用逆序的循環，當物品有如完全揹包問題時採用順序的循環。當物品有如多重揹包問題時拆分物品。

【揹包】

f[i][v]=max{ f [i-1][v] , f [i-1][v-c[i]]+w[i] }【注意：轉移方程不包括第i個揹包】

逆序！

`f[i][v]=max{ f[i-1][v-kc[i]]+kw[i] (0<=k*c[i]<=v) }`

順序！

`f[i][v]=max{f[i-1][v-kc[i]]+kw[i]|0<=k<=n[i]}`

分組揹包問題

問題

[編輯]算法

小結

二維費用揹包問題

單調隊列+STL deque

【圖染色】ZOJ 2066

【DP求最大子矩陣面積】hdu 1506

【劃分樹】

數據結構之【trie樹】

https://yachay.unat.edu.pe/blog/index.php?comment_area=format_blog&comment_component=blog&comment_co

linux以太網驅動總結

【揹包】

f[i][v]=max{ f [i-1][v] , f [i-1][v-c[i]]+w[i] }【注意：轉移方程不包括第i個揹包】

逆序！

f[i][v]=max{ f[i-1][v-k*c[i]]+k*w[i] (0<=k*c[i]<=v) }

順序！

f[i][v]=max{f[i-1][v-k*c[i]]+k*w[i]|0<=k<=n[i]}

分組揹包問題

問題

[編輯]算法

小結

二維費用揹包問題

`f[i][v]=max{ f[i-1][v-kc[i]]+kw[i] (0<=k*c[i]<=v) }`

`f[i][v]=max{f[i-1][v-kc[i]]+kw[i]|0<=k<=n[i]}`