HDU 4549題解 & luogu【模板】矩陣加速（數列）

M斐波那契數列
此題對數學基礎要求較高
來源矩陣乘法_百度百科
一個m*n的矩陣是一個由m行n列元素排成的矩形陣列。矩陣裏的元素可以是數字符號或者數學式.

形如[acbd]$\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]$ 的數表稱爲二階矩陣，其中a,b,c,d稱爲這個矩陣的元素。
形如 [x1x2]$$\begin{gathered} \left[\begin{array}{c}{x}_1 \\ {x}_2\end{array}\right] \end{gathered}$$ 的有序對稱爲列向量
設
A=[acbd]$A=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]$ B=[x1x2]$$\begin{gathered} B=\left[\begin{array}{c}{x}_1 \\ {x}_2\end{array}\right] \end{gathered}$$
則C=[ax1+bx2ax2+bx1]$$\begin{gathered} C=\left[\begin{array}{c}a{x}_1+b{x}_2 \\ a{x}_2+b{x}_1\end{array}\right] \end{gathered}$$
稱爲二階矩陣A與平面向量B的乘積，記爲AB=C
更一般的矩陣乘法如下

設A爲m×p$m\times p$ 的矩陣，B爲p×n$p\times n$ 的矩陣，那麼稱m×n$m\times n$ 的矩陣C爲矩陣A與B的乘積，，其中矩陣C中的第i$i$ 行第 j$j$ 列元素可以表示爲：

如下所示：

我們知道斐波那契數列的遞推公式f(i)=f(i−1)+f(i−2)$f\left(i\right)=f\left(i-1\right)+f\left(i-2\right)$
因此我們可以寫出以下式子
f(i)=1×f(i−1)+1×f(i−2)$f\left(i\right)=1\times f\left(i-1\right)+1\times f\left(i-2\right)$
f(i−1)=1×f(i−1)+0×f(i−1)$f\left(i-1\right)=1\times f\left(i-1\right)+0\times f\left(i-1\right)$
將每一項的係數寫成一個矩陣
[1110]$\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right]$
由矩陣乘法的特性可知
[f(i)f(i−1)]=[1110]×[f(i−1)f(i−2)]$\left[\begin{array}{c}f\left(i\right)\\ f\left(i-1\right)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right]\times \left[\begin{array}{c}f\left(i-1\right)\\ f\left(i-2\right)\end{array}\right]$
由此可推出（或找規律）
[f(n)f(n−1)]=[1110]n−1×[f(1)f(0)]=[1110]n−1×[10]$\left[\begin{array}{c}f\left(n\right)\\ f\left(n-1\right)\end{array}\right]={\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right]}^{n-1}\times \left[\begin{array}{c}f\left(1\right)\\ f\left(0\right)\end{array}\right]={\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right]}^{n-1}\times \left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]$

因此只要計算出[1110]n−1${\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right]}^{n-1}$ ，然後取左上角值就可以了
矩陣定義如下：

struct matrix {
    int n;
    int m;
    long long a[SIZE][SIZE];
    matrix() {
        n=2;
        m=2;
        memset(a,0,sizeof(a));
    }
    matrix(int x,int y) {//構造函數
        n=x;
        m=y;
        memset(a,0,sizeof(a));
    }
    void print() {
        for(int i=1; i<=n; i++) {
            for(int j=1; j<=m; j++) {
                printf("%d ",a[i][j]);
            }
            printf("\n");
        }
    }
    void setv(int x) {//矩陣初始化
        if(x==0) {
            memset(a,0,sizeof(a));
        }
        if(x==1) {
            memset(a,0,sizeof(a));
            for(int i=1; i<=n; i++) a[i][i]=1;
        }
    }
    friend matrix operator *(matrix x,matrix y) {//矩陣乘法
        matrix tmp=matrix(x.m,y.m);
        for(int i=1; i<=x.n; i++) {
            for(int j=1; j<=y.m; j++) {
                tmp.a[i][j]=0;
                for(int k=1; k<=y.n; k++) {
                    tmp.a[i][j]+=(x.a[i][k]*y.a[k][j])%mod;
//                  tmp.a[i][j]%=mod; 取模次數太多會TLE！ 
                }
                tmp.a[i][j]%=mod;
            }
        }
        return tmp;
    }
};

矩陣快速冪：
（跟整數的快速冪幾乎一樣）

matrix fast_pow(matrix x,int k) {
    matrix ans=matrix(2,2);
    ans.setv(1);
    while(k>0) {
        if(k&1) {
            ans=ans*x;
        }
        k>>=1;
        x=x*x;
    }
    return ans;  
}