多項式全家桶（零）：前置和目錄

$\ \ \ \ \ \ \,$終於把多項式差不多弄完了，可以找個機會在退役前把多項式整理封裝弄好，也算是留下了一點東西吧（嘿嘿。

$\ \ \ \ \ \ \,$這一部分實例的代碼是用 $std::vector$ 封裝好的，這篇博客先提一下前置：

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$\ \ \ \ \ \ \,$首先是可能需要用到的定義，都是比較基礎的數論知識，不贅述了：

#define Polynomial vector<int>
//封裝多項式爲 std::vector，方便resize等操作
void print(Polynomial &a,int len){for(int i=0;i<len;i++)printf("%d ",a[i]);}
const int mod=998244353,mod_g=3,img=86583718;
//mod爲多項式係數的取模值，mod_g是它的原根，img爲在模意義下的虛部，只有多項式三角函數會遇到。
int gcd(int a,int b){return b?gcd(b,a%b):a;}
void exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
	if(!b){x=1;y=0;return;}
	exgcd(b,a%b,y,x);y-=x*(a/b);
}
//gcd，exgcd只有在開根的時候會用到
int power(int a,int b)
{int ans=1;for(;b;b>>=1,a=1ll*a*a%mod)if(b&1)ans=1ll*ans*a%mod;return ans;}
#define Inv(x) power(x,mod-2)

$\ \ \ \ \ \ \,$然後是核心的快速數論變換 $NTT$，相關請看【求多項式卷積的變換】：

Polynomial R;
inline int Binary_Rounding(const int &n)
{int len=1;for(;len<n;len<<=1);return len;}
//二進制向上取整，爲方便NTT變換準備。
inline int Prepare_Transformation(int n){
  	int L=0,len;for(len=1;len<n;len<<=1)L++;R.clear();R.resize(len);
  	for(int i=0;i<len;i++)R[i]=(R[i>>1]>>1)|((i&1)<<(L-1));
  	return len;
}
//預處理R數組，準備變換，在每次NTT之前理論都要調用此函數。
void NTT(Polynomial &a,int f){
	int n=a.size();
	for(int i=0;i<n;i++)if(i<R[i])swap(a[i],a[R[i]]);
  	for(int i=1;i<n;i<<=1)
  	for(int j=0,gn=power(mod_g,(mod-1)/(i<<1));j<n;j+=(i<<1))
  	for(int k=0,g=1,x,y;k<i;k++,g=1ll*g*gn%mod)
	  	x=a[j+k],y=1ll*g*a[i+j+k]%mod,
	  	a[j+k]=(x+y)%mod,a[i+j+k]=(x-y+mod)%mod;
  	if(f==-1){
   		reverse(a.begin()+1,a.end());
    	int inv=Inv(n);
    	for(int i=0;i<n;i++)a[i]=1ll*a[i]*inv%mod;
  	}
}

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$\ \ \ \ \ \ \,$在掌握上面簡單知識後，就可以進行多項式的入門了，我差不多按照學習的拓撲序給出下面的目錄，也分開記錄一下自己的模板：

$\ \ \ \ \ \ \,$對了，還是建議用 $vector$ 的，用數組的話，到時候對於臨時數組的清空問題會讓你懷疑人生的！！

• 多項式全家桶（一）：多項式的加，減，卷積

  1. 多項式加，減單項式；
  2. 多項式卷積單項式；
  3. 多項式加，減多項式；
  4. 多項式卷積多項式；
  5. 多項式除法和取模。

• 多項式全家桶（二）：多項式的逆，導，積

  1. 多項式求逆；
  2. 多項式求導；
  3. 多項式求積；
  4. 多項式複合逆。

• 多項式全家桶（三）：多項式的 $ln$，$exp$

  1. 多項式的$ln$；
  2. 多項式的$exp$。

• 多項式全家桶（四）：多項式快速冪，開方

  1. 多項式快速冪；
  2. 多項式開方；
  3. 多項式開高次方。

• 多項式全家桶（五）：多項式三角函數，反三角函數

  1. 多項式$Sin$；
  2. 多項式$Cos$；
  3. 多項式$Asin$；
  4. 多項式$Atan$。