多項式全家桶（三）：多項式的ln，exp

$\ \ \ \ \ \ \,$對數和指數是很重要的東西了，複雜的多項式都和他們有關係，所以說掌握很重要，這裏不建議光背板子，因爲這兩個板子都有致命的限制，而在實際操作的時候，可以通過一些方法繞過這個限制直接求解，這個就很重要了。

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1. 多項式的$ln$

$\ \ \ \ \ \ \,$P4725 【模板】多項式對數函數

$\ \ \ \ \ \ \,$公式先走起咯：

$\ln(A)=\int \frac{A'}{A}dx$

$\ \ \ \ \ \ \,$觀察公式，一句話解決：

$\ \ \ \ \ \ \,$導卷逆的積：

$\ \ \ \ \ \ \,$看上去很模板，當然模板也是很短的：

inline Polynomial Logarithmic(const Polynomial &a){
	Polynomial ln_a=Derivation(a)*Inverse(a);
  	ln_a.resize(a.size());
  	//這裏resize一下，因爲卷積後會倍增，防止變長爆掉
  	return Integral(ln_a);
}

$\ \ \ \ \ \ \,$還有一個值得注意的問題，一般求對數的多項式，是需要要求常數項爲 $1$ 的，因爲我們知道：

$e^0=1$

$\ \ \ \ \ \ \,$也就是：

$ln(1)=0$

$\ \ \ \ \ \ \,$這樣算出來的 $ln$ 常數項是 $0$，而我們追後一步在算積的時候，是默認把常數項補上 $0$ 的，這樣就沒有問題。可要是原多項式常數項不爲 $1$ 呢？

$\ \ \ \ \ \ \,$顯然應該算積的時候在常數項補上 $ln(C)$ （C爲常數項），不過這個數在模的意義下應該是多少呢？這個問題周道確實不能解決了，所以說，模板題的話，會給出這個常數項爲 $1$的條件的。

$\ \ \ \ \ \ \,$否認常數項不等於$1$，完全不能求 $ln$ 的說法。

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2. 多項式的$exp$

P4726 【模板】多項式指數函數

$\ \ \ \ \ \ \,$這玩意說簡單也簡單，說複雜也挺複雜的，我們得引入一個新玩意，【牛頓迭代】，是求函數零點的玩意，收斂速度非常理想，我在這裏有簡略的講過：【導數和牛頓迭代】，我也在洛谷出過一個牛頓迭代的裸題，感興趣可以去體驗一下牛頓迭代的神奇：【P4986 逃離】。

$\ \ \ \ \ \ \,$說遠了，現在我們來康康怎麼求指數函數。

$\ \ \ \ \ \ \,$令我們要求的是 $A$ 的指數函數 $B$，既是：

$B=e^A$

$\ \ \ \ \ \ \,$變形得：

$\ln(B)-A=0$

$\ \ \ \ \ \ \,$咦？$0$ ?，我們把多項式當做函數值看看？

$\ \ \ \ \ \ \,$哇，函數零點！馬上牛頓迭代呀！

$\ \ \ \ \ \ \,$設$F(B)=\ln (B)-A$，我們要求 $F$的零點，根據牛頓迭代的公式可得（注意這裏B後面的括號的迭代版本的意思，不是多項式的項）：

$B(x)=B(x-1)-\frac{F\left(B(x-1)\right)}{F'\left(B(x-1)\right)}$

$\ \ \ \ \ \ \,$而根據導數的定義，$F'(B)=\frac{1}{B}$，（【導數和牛頓迭代】裏面有提到過一點，這裏是把$A$當做常數捨去了）

$\ \ \ \ \ \ \,$那我們現在把牛頓迭代的公式化簡：

$\begin{aligned} B(x)& =B(x-1)-F\left(B(x-1)\right)\times B(x-1)\\& =B(x-1)-B(x-1)\times F\left(B(x-1)\right)\\& =B(x-1)-B(x-1)\times \left(\ln \left(B(x-1)\right)-A\right)\\& =B(x-1)\times \left(1-\ln \left(B(x-1)\right)+A \right) \end{aligned}$

$\ \ \ \ \ \ \,$再次強調B後面的括號的迭代版本的意思，不是多項式的項。

$\ \ \ \ \ \ \,$現在看似分治可做，我們用兩個容器相互裝版本。每次老版本一卷，新版本長度就會倍增，所以說我們做 $\log n$ 次迭代就好。我們的操作相當於把式子拆了求收斂值，所以不會有精度的問題，求出來就好了。

$\ \ \ \ \ \ \,$那麼現在的問題是，第一個版本是怎麼樣，洛咕模板給的是保證 $A_0=0$，因爲$e^0=1$，也就是$exp(0)=1$，所以說 $B_0=1$，也就是常數項爲 $1$。

$\ \ \ \ \ \ \,$當然了，同理，他一般會保證$A_0=0$，我們不方便找到其他$exp(A_0)$模的意義下的值。如果可以算的話，可以在模板裏面傳入 $Constant$ 也就是 $exp(A_0)$ 的值。

$\ \ \ \ \ \ \,$否認$A_0$不等於$0$，完全不能求 $exp$ 的說法。

inline Polynomial Exponential(const Polynomial &a,int Constant=1){
	Polynomial ret,D;int ed=a.size();
	ret.resize(1);ret[0]=Constant;
	for(int len=2;len<=ed;len<<=1){
	  	D=Logarithmic(ret);D.resize(len);
	  	D[0]=(1ll*a[0]+1ll-D[0]+mod)%mod;
	  	for(int i=1;i<len;++i) D[i]=(1ll*a[i]-D[i]+mod)%mod;
		int n=Prepare_Transformation(len<<1);
	  	ret.resize(n);D.resize(n);
	  	NTT(ret,1);NTT(D,1);
	  	for(int i=0;i<n;i++)ret[i]=1ll*ret[i]*D[i]%mod;
	  	NTT(ret,-1);
	  	for(int i=len;i<(len<<1);++i)ret[i]=D[i]=0;
	}
	ret.resize(ed);
	return ret;
}