HDU 4549题解 & luogu【模板】矩阵加速（数列）

M斐波那契数列
此题对数学基础要求较高
来源矩阵乘法_百度百科
一个m*n的矩阵是一个由m行n列元素排成的矩形阵列。矩阵里的元素可以是数字符号或者数学式.

形如[acbd]$\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]$ 的数表称为二阶矩阵，其中a,b,c,d称为这个矩阵的元素。
形如 [x1x2]$$\begin{gathered} \left[\begin{array}{c}{x}_1 \\ {x}_2\end{array}\right] \end{gathered}$$ 的有序对称为列向量
设
A=[acbd]$A=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]$ B=[x1x2]$$\begin{gathered} B=\left[\begin{array}{c}{x}_1 \\ {x}_2\end{array}\right] \end{gathered}$$
则C=[ax1+bx2ax2+bx1]$$\begin{gathered} C=\left[\begin{array}{c}a{x}_1+b{x}_2 \\ a{x}_2+b{x}_1\end{array}\right] \end{gathered}$$
称为二阶矩阵A与平面向量B的乘积，记为AB=C
更一般的矩阵乘法如下

设A为m×p$m\times p$ 的矩阵，B为p×n$p\times n$ 的矩阵，那么称m×n$m\times n$ 的矩阵C为矩阵A与B的乘积，，其中矩阵C中的第i$i$ 行第 j$j$ 列元素可以表示为：

如下所示：

我们知道斐波那契数列的递推公式f(i)=f(i−1)+f(i−2)$f\left(i\right)=f\left(i-1\right)+f\left(i-2\right)$
因此我们可以写出以下式子
f(i)=1×f(i−1)+1×f(i−2)$f\left(i\right)=1\times f\left(i-1\right)+1\times f\left(i-2\right)$
f(i−1)=1×f(i−1)+0×f(i−1)$f\left(i-1\right)=1\times f\left(i-1\right)+0\times f\left(i-1\right)$
将每一项的系数写成一个矩阵
[1110]$\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right]$
由矩阵乘法的特性可知
[f(i)f(i−1)]=[1110]×[f(i−1)f(i−2)]$\left[\begin{array}{c}f\left(i\right)\\ f\left(i-1\right)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right]\times \left[\begin{array}{c}f\left(i-1\right)\\ f\left(i-2\right)\end{array}\right]$
由此可推出（或找规律）
[f(n)f(n−1)]=[1110]n−1×[f(1)f(0)]=[1110]n−1×[10]$\left[\begin{array}{c}f\left(n\right)\\ f\left(n-1\right)\end{array}\right]={\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right]}^{n-1}\times \left[\begin{array}{c}f\left(1\right)\\ f\left(0\right)\end{array}\right]={\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right]}^{n-1}\times \left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]$

因此只要计算出[1110]n−1${\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right]}^{n-1}$ ，然后取左上角值就可以了
矩阵定义如下：

struct matrix {
    int n;
    int m;
    long long a[SIZE][SIZE];
    matrix() {
        n=2;
        m=2;
        memset(a,0,sizeof(a));
    }
    matrix(int x,int y) {//构造函数
        n=x;
        m=y;
        memset(a,0,sizeof(a));
    }
    void print() {
        for(int i=1; i<=n; i++) {
            for(int j=1; j<=m; j++) {
                printf("%d ",a[i][j]);
            }
            printf("\n");
        }
    }
    void setv(int x) {//矩阵初始化
        if(x==0) {
            memset(a,0,sizeof(a));
        }
        if(x==1) {
            memset(a,0,sizeof(a));
            for(int i=1; i<=n; i++) a[i][i]=1;
        }
    }
    friend matrix operator *(matrix x,matrix y) {//矩阵乘法
        matrix tmp=matrix(x.m,y.m);
        for(int i=1; i<=x.n; i++) {
            for(int j=1; j<=y.m; j++) {
                tmp.a[i][j]=0;
                for(int k=1; k<=y.n; k++) {
                    tmp.a[i][j]+=(x.a[i][k]*y.a[k][j])%mod;
//                  tmp.a[i][j]%=mod; 取模次数太多会TLE！ 
                }
                tmp.a[i][j]%=mod;
            }
        }
        return tmp;
    }
};

矩阵快速幂：
（跟整数的快速幂几乎一样）

matrix fast_pow(matrix x,int k) {
    matrix ans=matrix(2,2);
    ans.setv(1);
    while(k>0) {
        if(k&1) {
            ans=ans*x;
        }
        k>>=1;
        x=x*x;
    }
    return ans;  
}