HDU4609 3-idiots

給定n條線段，隨機選3條，輸出三條線段能組成三角形的概率。

考慮暴力。枚舉兩條線段，第三條前綴和查詢。O(n2)$O(n^2)$

在O(nlogn)$O(nlogn)$ 時間內 枚舉兩條線段不太好辦。換種思路考慮。如果我們枚舉最長邊，去找2個短邊之和＞最長邊的數量。

設f(x)$f(x)$ 爲長度爲x的線段數量。
求f(x)$f(x)$ 的卷積g(x)$g(x)$ 。即爲兩條線段湊到一起長度爲x的組合的數量。
g(x)=∑f(x−i)f(i)$g(x)=\sum f(x-i)f(i)$

這樣會算重複線段本身還有每兩個不相同的線段多算2遍，減完除一下就好。
這樣我們可以得到兩條不相同的線段加起來值爲k的方案數。

枚舉最長邊。考慮如何計算合法答案。
一個三角形 我們枚舉了一條邊e，要求有2個不相同的邊相加長度＞e。
有三種情況不合法：
1.兩條比他長的邊組成的方案。
2.一條比他長一條比他短的邊組成的方案。
3.他加上某條線段組成的方案。

減去即可計算出合法的方案數ans。
總方案數C(n,3)$C(n,3)$
最終概率爲 ans/C(n,3)$ans/C(n,3)$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;
const double Pi=acos(-1);
const int MAXN=4e5+5;

struct cp{
    double x,y;
    cp(double xx=0,double yy=0){x=xx,y=yy;}
}a[MAXN],b[MAXN];

cp operator + (cp a,cp b){
    return cp(a.x+b.x,a.y+b.y);
}

cp operator - (cp a,cp b){
    return cp(a.x-b.x,a.y-b.y);
}

cp operator * (cp a,cp b){
    return cp(a.x*b.x-a.y*b.y,a.x*b.y+b.x*a.y);
}

int l,r[MAXN],limit=1,n,h[MAXN],maxn=0;
ll g[MAXN];

void FFT(cp*A,int ty){
    for(int i=0;i<limit;i++){
        if(i<r[i])swap(A[i],A[r[i]]);
    }
    for(int mid=1;mid<limit;mid<<=1){
        int R=mid<<1;
        cp Wn(cos(Pi/mid),ty*sin(Pi/mid));
        for(int j=0;j<limit;j+=R){
            cp W(1,0);
            for(int k=0;k<mid;k++){
                cp x=A[j+k],y=W*A[j+k+mid];
                A[j+k]=x+y;
                A[j+k+mid]=x-y;
                W=W*Wn;
            }
        }
    }
}

void rework(){
    l=0;limit=1;maxn=0;
    memset(a,0,sizeof(a));
    memset(b,0,sizeof(b));
    memset(r,0,sizeof(r));
    memset(g,0,sizeof(g));
    memset(h,0,sizeof(h));
}

void work(){
    scanf("%d",&n); 
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%d",&h[i]);
        maxn=max(maxn,h[i]);
        a[h[i]]=a[h[i]]+1;b[h[i]]=b[h[i]]+1;
    }
    maxn*=2;
    while(limit<=maxn+2)l++,limit<<=1;
    for(int i=0;i<limit;i++){
        r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)<<(l-1));
    }
    FFT(a,1);FFT(b,1);
    for(int i=0;i<=limit;i++)a[i]=a[i]*b[i];
    FFT(a,-1);
    for(int i=0;i<=limit;i++)g[i]=ll(a[i].x/limit+0.5);
    for(int i=1;i<=n;i++)g[h[i]<<1]--;
    for(int i=0;i<=limit;i++)g[i]>>=1;
    for(int i=1;i<=limit;i++)g[i]+=g[i-1];
    sort(h+1,h+1+n);
    ll ans=0;
    for(int i=1;i<=n;i++){
    //  cout<<g[i]<<":"<<i<<endl;
        ans+=g[limit]-g[h[i]];
        ans-=1ll*(n-i)*(n-i-1)/2;//兩邊都>組成的g 
        ans-=1ll*(n-i)*(i-1);//一邊大於一邊小＜組成的g 
        ans-=n-1;//他自己組成的g 
    }
    //printf("%lld\n",ans);
    printf("%.7lf\n",1.0*ans/((1ll*n*(n-1)*(n-2))/6));
}

int main(){
//  freopen("1.in","r",stdin);
//  freopen("1.out","w",stdout);
    int T;
    scanf("%d",&T);
    while(T--){
        rework();
        work(); 
    }
    return 0;
}