chap7解析几何
7.3代数曲线
在这段话中，笛卡尔定义了我们现在所谓的代数曲线。
笛卡尔拒绝超越方程是短视之举，因微积分很快就提供了研究它们的级数；但无论如何，集中关注代数曲线是有益的。特别地，次数的概念有利于反应曲线的复杂性。一次曲线可能是最简单的，即直线；二次曲线次简单，它们是圆锥曲线。在三次曲线的情形，我们看到了新的现象：拐折、二重点和尖点。众所周知，拐点和尖点分别出现在y=x^3和y^2=x^3中；我们在蔓叶线上也看到了尖点（2.5节）。有二重点的三次曲线的经典例子是笛卡尔的叶形线（folium，1638）：x^3+y^3=3axy。“叶”是二重点右边的闭合部分；笛卡尔忽略负座标，因而并不了解曲线的其余部分。叶形线的真实形状首先由惠更斯给出（1692）。图7.1是惠更斯画的，画中还显示了该曲线的渐近线。
chap11数论的复兴
11.2费马小定理
真正由费马证明的最著名的定理就是众所周知的他的“小”定理——之所以如此称呼这个定理，是为了把它和费马“最后”定理，或费马“大”定理（见下节）区分开来。费马小定理叙述如下：
如p是素数，n与p互素，则n^(p-1)≡1(mod p)。
为避免使用费马时代尚不知道的“同余mod p”这种语言，这个结论可等价表述为n^(p-1)-1被p整除或n^p-n被p整除。后者成立是因为n^p-n=n(n^(p-1)-1)，那么，由于p是素数，又不能整除n，所以仅当p能整除n^(p-1)-1时才有p整除n^p-n。
费马小定理现在已成为应用数学的某些领域，诸如密码学中不可或缺的东西。发人深思的是，这个定理起源于数学中最少应用性的问题，即构造完全数问题。正如我们在3.2节见到的，它依赖于形如2^m-1的素数的构造。这是最初使费马对2^m-1是否有因子的条件感兴趣的缘由。在同一时期（17世纪30年代中期），他研究了二项式系数。这两种兴趣的综合很可能导致他发现了n=2时的小定理。
至此，我们还只证明了n=2时的费马小定理。韦伊（1984）据此提出了证明一般的费马小定理的两种途径。一种是重复使用二项式定理，这是属于欧拉的第一个发表的费马定理的证明（1736）；另一种是直接应用多项式定理，这实际上是人们最早知道的证明方法，它见于17世纪60年代晚期莱布尼茨未发表的一篇文章中[参见韦伊（1984），56页]。
11.5亏格为0的三次曲线上的有理点
例如，在1.3节中，在圆x^2+y^2=1上的作图给出了它的参数化
x=(1-t^2)/(1+t^2)，y=2t/(1+t^2)（图11.2）。
亏格为0的曲线可以定义为容许用有理函数实现参数化的曲线。我现在要证明：一些三次曲线的亏格也为0，办法是应用与笛卡尔的叶形线很相似的作图。
叶形线在7.3节定义为其方程是x^3+y^3=3axy----(1)的曲线。原点O是叶形线上明显的有理点；从图11.3可进一步清楚地看出O是该曲线的二重点。
图11.3叶形线的参数化
x=3at/(1+t^3)，及y=3at^2/(1+t^3)。
类似的作图可用于任一个有二重点的三次曲线上，或者更一般地用到有n重点的n+1次曲线上，因此所有这些曲线的亏格皆为0。
11.6亏格为1的三次曲线上的有理点
我们还不能给出亏格1的精确定义，但亏格为1的情况太多了，所有亏格不为0的三次曲线都具有亏格1。从11.5节我们知道亏格为1的三次曲线不能有二重点，实际上它也不能有尖点，因为这两种情况都会导出有理参数化（尖点的一种情形，见习题7.4.1）。我们要讲的是可以将亏格为1的三次曲线参数化的函数。这样的函数就是椭圆函数——它们到19世纪才被定义，克莱布施（A.Clebsch）（1864）首次将它们应用于三次曲线的参数化。
chap15复数和复曲线
15.1根与交点
代数曲线的交点和多项式的根有密切联系；对这种联系的研究，可远溯至梅克缪斯通过抛物线与双曲线之交来完成2^(1/3)（即x^3=2的一个根）的作图（2.4节）。
y=x^2和y=0的交点（图15.1）可以被认为是两个重合的点。----2重根与2重交点
贝祖定理是这方面的一个最优美的成果：m次曲线C_m与n次曲线C_n相交于mn个点。
15.2复射影直线
自从人们在复分析研究中也想通过这种方法为C加上点∞从而使C完备化以来，从C过渡到CP^1的做法在几何与分析研究中都用上了。高斯似乎是看到关于C的C∪∞的优越性的第一人，因此在分析中常常称CP^1为高斯球面。[不幸的是，高斯关于这个题目的工作仅存若干未出版、也未标明日期的残篇；参见高斯（1819）。]代数几何学家称CP^1为（复）射影直线，因为它形式上等价于实直线，尽管它从拓扑观点看是个曲面。类似地，复曲线在拓扑上是一个曲面，即分析学家熟知的黎曼面，虽然代数几何学家喜欢称它为“曲线”。
15.3分支点
理解复曲线p(x,y)=0的拓扑形式的关键在于它的分支点α，牛顿-皮瑟关于y的在分支点的展开式就是从(x-α)的分数次幂开始的（参见10.5节）。分支点的性质首先为黎曼（1851）所描述，成为复函数革命性的新几何理论的一部分。
15.5人物小传：黎曼
狄利克雷的特长是在纯数学中、特别是在数论中使用分析方法；黎曼在广义上也被分类在分析学家之列。然而，他并不是今天那样的分析学专家。他的研究领域囊括了从分析观点出发所能看到的全部数学。他关注可以使用分析来阐释的所有数学，从数论到几何无所不包；同时，他也关注分析本身需要从外部加以阐释的地方。黎曼面的概念，特别是亏格这一拓扑概念，使得许多原来很难被发现的分析方面的结果几乎立刻变得一目了然。黎曼对椭圆函数双周期性的说明，就是利用拓扑来阐释分析理论的生动例证，我们将在第16.4节一睹为快。
----讲19世纪的数学史，不讲椭圆函数这一19世纪的中心课题，就只能讲个皮毛。本书作者就列了专章讲椭圆函数，这是当初本人非常感兴趣的地方。
人们说，阿贝尔留下的遗产足够数学家忙碌500年，黎曼的情形也可以这么说。至今，黎曼已去世130年[147年]，纯数学中的一个重大的未决问题就是所谓的黎曼假设——黎曼在他的一篇有关素数分布的文章（1859）中提出的猜想。
chap19群论
19.1群的概念
这些公理是从研究特殊的群开始经过一个多世纪的发展才成型的，其间它们的基本面貌逐渐地浮现了出来。
也许最早使用逆元的非平凡例子出现在“模p乘法”的运算中——欧拉（1758）（他之前可能还有费马）用它给出了费马小定理的、本质上属于群论的证明。欧拉在他的证明中并未定义一个群，但对我们来说要做到这一点很容易（重述欧拉的证明见习题）。该群的元素是mod p的非零剩余类：
1modp={…,-p+1,1,p+1,2p+1,…},
2modp={…,-p+2,2,p+2,2p+2,…},
3modp={…,-p+3,3,p+3,2p+3,…},
……
(p-1)modp={…,-1,p-1,2p-1,3p-1,…},
此时的乘法定义为
(amodp)(bmodp)=(ab)modp。
前面的例子说明了几何与数论对群概念的影响。更具决定性的影响来自方程论，下节我们会简要地谈到它。
19.2置换与方程论
我们从11.1节知道，早在1321年莱维·本·热尔松就发现了n件东西有n!种置换方式。这些置换都是可逆函数，它们构成一个群S_n[n次对称群]，其中乘法是合成。然而，它们在合成下的性态在18世纪以前从未被考虑过。直到范德蒙德（1771）和拉格朗日（1771）将置换的思想应用到多项式方程的根上，才首次发现了置换的群论性质。同时，范德蒙德和拉格朗日还发现，这是理解方程有无根式解的关键。
19.3置换群
伽罗瓦理解的“群”就是有限集合的置换群。
从历史上看，几何是无限群最重要的来源，我们将在19.5节中阐述它。
19.4多面体群
十二面体和二十面体之间的对偶关系表明了它们具有相同的对称群，原来这个群就是A_5[5次交错群]，即S_5中偶置换的子群。
19.5群和几何
19.6组合群论