第12周項目4 利用遍歷思想求解圖問題

問題及代碼：

文件名稱：main.cpp graph.cpp graph.h

作者：鄭孚嘉

問題描述：假設圖G採用鄰接表存儲，分別設計實現以下要求的算法，要求用區別於示例中的圖進行多次測試，通過觀察輸出值，掌握相關問題的處理方法。
（1）設計一個算法，判斷頂點u到v是否有簡單路徑

（2）設計一個算法輸出圖G中從頂點u到v的一條簡單路徑（設計測試圖時，保證圖G中從頂點u到v至少有一條簡單路徑）。

（3）輸出從頂點u到v的所有簡單路徑。

（4）輸出圖G中從頂點u到v的長度爲s的所有簡單路徑。

（5）求圖中通過某頂點k的所有簡單迴路（若存在）

（6）求不帶權連通圖G中從頂點u到頂點v的一條最短路徑。

（7）求不帶權連通圖G中，距離頂點v最遠的頂點k

代碼：

graph.h graph.cpp請參考圖算法庫

1、是否有簡單路徑?
問題：假設圖G採用鄰接表存儲，設計一個算法，判斷頂點u到v是否有簡單路徑。

main.cpp

#include <stdio.h>
#include <malloc.h>
#include "graph.h"
int visited[MAXV];     //定義存放節點的訪問標誌的全局數組
void ExistPath(ALGraph *G,int u,int v, bool &has)
{
    int w;
    ArcNode *p;
    visited[u]=1;
    if(u==v)
    {
        has=true;
        return;
    }
    p=G->adjlist[u].firstarc;
    while (p!=NULL)
    {
        w=p->adjvex;
        if (visited[w]==0)
            ExistPath(G,w,v,has);
        p=p->nextarc;
    }
}

void HasPath(ALGraph *G,int u,int v)
{
    int i;
    bool flag = false;
    for (i=0; i<G->n; i++)
        visited[i]=0; //訪問標誌數組初始化
    ExistPath(G,u,v,flag);
    printf(" 從 %d 到 %d ", u, v);
    if(flag)
        printf("有簡單路徑\n");
    else
        printf("無簡單路徑\n");
}

int main()
{
    ALGraph *G;
    int A[5][5]=
    {
        {0,0,0,0,0},
        {0,0,1,0,0},
        {0,0,0,1,1},
        {0,0,0,0,0},
        {1,0,0,1,0},
    };  
    ArrayToList(A[0], 5, G);
    HasPath(G, 1, 0);
    HasPath(G, 4, 1);
    return 0;
}

測試圖結構及存儲

運行結果：

2、輸出簡單路徑
問題：假設圖G採用鄰接表存儲，設計一個算法輸出圖G中從頂點u到v的一條簡單路徑（假設圖G中從頂點u到v至少有一條簡單路徑）。

main.cpp

#include <stdio.h>
#include <malloc.h>
#include "graph.h"
int visited[MAXV];     //定義存放節點的訪問標誌的全局數組
void FindAPath(ALGraph *G,int u,int v,int path[],int d)
{
    //d表示path中的路徑長度，初始爲-1
    int w,i;
    ArcNode *p;
    visited[u]=1;
    d++;
    path[d]=u;  //路徑長度d增1，頂點u加入到路徑中
    if (u==v)   //找到一條路徑後輸出並返回
    {
        printf("一條簡單路徑爲:");
        for (i=0; i<=d; i++)
            printf("%d ",path[i]);
        printf("\n");
        return;         //找到一條路徑後返回
    }
    p=G->adjlist[u].firstarc;  //p指向頂點u的第一個相鄰點
    while (p!=NULL)
    {
        w=p->adjvex;    //相鄰點的編號爲w
        if (visited[w]==0)
            FindAPath(G,w,v,path,d);
        p=p->nextarc;   //p指向頂點u的下一個相鄰點
    }
}

void APath(ALGraph *G,int u,int v)
{
    int i;
    int path[MAXV];
    for (i=0; i<G->n; i++)
        visited[i]=0; //訪問標誌數組初始化
    FindAPath(G,u,v,path,-1);  //d初值爲-1，調用時d++，即變成了0
}

int main()
{

    ALGraph *G;
    int A[5][5]=
    {
        {0,0,0,0,0},
        {0,0,1,0,0},
        {0,0,0,1,1},
        {0,0,0,0,0},
        {1,0,0,1,0},
    };  
    ArrayToList(A[0], 5, G);
    APath(G, 1, 0);
    APath(G, 4, 1);
    return 0;
}

運行結果：

3、輸出所有路徑
問題：輸出從頂點u到v的所有簡單路徑。

main.cpp

#include <stdio.h>
#include <malloc.h>
#include "graph.h"
int visited[MAXV];     //定義存放節點的訪問標誌的全局數組
void FindPaths(ALGraph *G,int u,int v,int path[],int d)
//d是到當前爲止已走過的路徑長度，調用時初值爲-1
{
    int w,i;
    ArcNode *p;
    visited[u]=1;
    d++;            //路徑長度增1
    path[d]=u;              //將當前頂點添加到路徑中
    if (u==v && d>1)            //輸出一條路徑
    {
        printf("  ");
        for (i=0; i<=d; i++)
            printf("%d ",path[i]);
        printf("\n");
    }
    p=G->adjlist[u].firstarc; //p指向u的第一條邊
    while(p!=NULL)
    {
        w=p->adjvex;     //w爲u的鄰接頂點
        if (visited[w]==0)      //若頂點未標記訪問，則遞歸訪問之
            FindPaths(G,w,v,path,d);
        p=p->nextarc; //找u的下一個鄰接頂點
    }
    visited[u]=0;   //恢復環境
}


void DispPaths(ALGraph *G,int u,int v)
{
    int i;
    int path[MAXV];
    for (i=0; i<G->n; i++)
        visited[i]=0; //訪問標誌數組初始化
    printf("從%d到%d的所有路徑:\n",u,v);
    FindPaths(G,u,v,path,-1);
    printf("\n");
}

int main()
{
    ALGraph *G;
    int A[5][5]=
    {
        {0,1,0,1,0},
        {1,0,1,0,0},
        {0,1,0,1,1},
        {1,0,1,0,1},
        {0,0,1,1,0}
    }; 
    ArrayToList(A[0], 5, G);
    DispPaths(G, 1, 4);
    return 0;
}

測試用的圖結構、存儲結構、運行結果

4、輸出一些簡單迴路
問題：輸出圖G中從頂點u到v的長度爲s的所有簡單路徑。

main.cpp

#include <stdio.h>
#include <malloc.h>
#include "graph.h"
int visited[MAXV];     //定義存放節點的訪問標誌的全局數組
void SomePaths(ALGraph *G,int u,int v,int s, int path[],int d)
//d是到當前爲止已走過的路徑長度，調用時初值爲-1
{
    int w,i;
    ArcNode *p;
    visited[u]=1;
    d++;            //路徑長度增1
    path[d]=u;              //將當前頂點添加到路徑中
    if (u==v && d==s)           //輸出一條路徑
    {
        printf("  ");
        for (i=0; i<=d; i++)
            printf("%d ",path[i]);
        printf("\n");
    }
    p=G->adjlist[u].firstarc; //p指向u的第一條邊
    while(p!=NULL)
    {
        w=p->adjvex;     //w爲u的鄰接頂點
        if (visited[w]==0)      //若頂點未標記訪問，則遞歸訪問之
            SomePaths(G,w,v,s,path,d);
        p=p->nextarc; //找u的下一個鄰接頂點
    }
    visited[u]=0;   //恢復環境
}

void DispSomePaths(ALGraph *G,int u,int v, int s)
{
    int i;
    int path[MAXV];
    for (i=0; i<G->n; i++)
        visited[i]=0; //訪問標誌數組初始化
    printf("從%d到%d長爲%d的路徑:\n",u,v,s);
    SomePaths(G,u,v,s,path,-1);
    printf("\n");
}

int main()
{
    ALGraph *G;
    int A[5][5]=
    {
        {0,1,0,1,0},
        {1,0,1,0,0},
        {0,1,0,1,1},
        {1,0,1,0,1},
        {0,0,1,1,0}
    };  
    ArrayToList(A[0], 5, G);
    DispSomePaths(G, 1, 4, 3);
    return 0;
}

測試的圖結構、運行結果

5、輸出通過一個節點的所有簡單迴路
問題：求圖中通過某頂點k的所有簡單迴路（若存在）

main.cpp

#include <stdio.h>
#include <malloc.h>
#include "graph.h"
int visited[MAXV];       //全局變量
void DFSPath(ALGraph *G,int u,int v,int path[],int d)
//d是到當前爲止已走過的路徑長度，調用時初值爲-1
{
    int w,i;
    ArcNode *p;
    visited[u]=1;
    d++;
    path[d]=u;
    p=G->adjlist[u].firstarc;   //p指向頂點u的第一條邊
    while (p!=NULL)
    {
        w=p->adjvex;            //w爲頂點u的相鄰點
        if (w==v && d>0)        //找到一個迴路，輸出之
        {
            printf("  ");
            for (i=0; i<=d; i++)
                printf("%d ",path[i]);
            printf("%d \n",v);
        }
        if (visited[w]==0)          //w未訪問，則遞歸訪問之
            DFSPath(G,w,v,path,d);
        p=p->nextarc;       //找u的下一個鄰接頂點
    }
    visited[u]=0;           //恢復環境：使該頂點可重新使用
}

void FindCyclePath(ALGraph *G,int k)
//輸出經過頂點k的所有迴路
{
    int path[MAXV],i;
    for (i=0; i<G->n; i++)
        visited[i]=0; //訪問標誌數組初始化
    printf("經過頂點%d的所有迴路\n",k);
    DFSPath(G,k,k,path,-1);
    printf("\n");
}

int main()
{
    ALGraph *G;
    int A[5][5]=
    {
        {0,1,1,0,0},
        {0,0,1,0,0},
        {0,0,0,1,1},
        {0,0,0,0,1},
        {1,0,0,0,0}
    };  //請畫出對應的有向圖
    ArrayToList(A[0], 5, G);
    FindCyclePath(G, 0);
    return 0;
}

測試用圖結構、輸出結果

6、最短路徑
問題：求不帶權連通圖G中從頂點u到頂點v的一條最短路徑。

main.cpp

#include <stdio.h>
#include <malloc.h>
#include "graph.h"

typedef struct
{
    int data;                   //頂點編號
    int parent;                 //前一個頂點的位置
} QUERE;                        //非環形隊列類型

void ShortPath(ALGraph *G,int u,int v)
{
    //輸出從頂點u到頂點v的最短逆路徑
    ArcNode *p;
    int w,i;
    QUERE qu[MAXV];             //非環形隊列
    int front=-1,rear=-1;       //隊列的頭、尾指針
    int visited[MAXV];
    for (i=0; i<G->n; i++)      //訪問標記置初值0
        visited[i]=0;
    rear++;                     //頂點u進隊
    qu[rear].data=u;
    qu[rear].parent=-1;
    visited[u]=1;
    while (front!=rear)         //隊不空循環
    {
        front++;                //出隊頂點w
        w=qu[front].data;
        if (w==v)               //找到v時輸出路徑之逆並退出
        {
            i=front;            //通過隊列輸出逆路徑
            while (qu[i].parent!=-1)
            {
                printf("%2d ",qu[i].data);
                i=qu[i].parent;
            }
            printf("%2d\n",qu[i].data);
            break;
        }
        p=G->adjlist[w].firstarc;   //找w的第一個鄰接點
        while (p!=NULL)
        {
            if (visited[p->adjvex]==0)
            {
                visited[p->adjvex]=1;
                rear++;             //將w的未訪問過的鄰接點進隊
                qu[rear].data=p->adjvex;
                qu[rear].parent=front;
            }
            p=p->nextarc;           //找w的下一個鄰接點
        }
    }
}

int main()
{
    ALGraph *G;
    int A[9][9]=
    {
        {0,1,1,0,0,0,0,0,0},
        {0,0,0,1,1,0,0,0,0},
        {0,0,0,0,1,1,0,0,0},
        {0,0,0,0,0,0,1,0,0},
        {0,0,0,0,0,1,1,0,0},
        {0,0,0,0,0,0,0,1,0},
        {0,0,0,0,0,0,0,1,1},
        {0,0,0,0,0,0,0,0,1},
        {0,0,0,0,0,0,0,0,0}
    };  
    ArrayToList(A[0], 9, G);
    ShortPath(G,0,7);
    return 0;
}

測試用圖結構

運行結果：

7、最遠頂點
問題：求不帶權連通圖G中，距離頂點v最遠的頂點k

main.cpp

#include <stdio.h>
#include <malloc.h>
#include "graph.h"

int Maxdist(ALGraph *G,int v)
{
    ArcNode *p;
    int i,j,k;
    int Qu[MAXV];               //環形隊列
    int visited[MAXV];              //訪問標記數組
    int front=0,rear=0;             //隊列的頭、尾指針
    for (i=0; i<G->n; i++)          //初始化訪問標誌數組
        visited[i]=0;
    rear++;
    Qu[rear]=v;                 //頂點v進隊
    visited[v]=1;               //標記v已訪問
    while (rear!=front)
    {
        front=(front+1)%MAXV;
        k=Qu[front];                //頂點k出隊
        p=G->adjlist[k].firstarc;       //找第一個鄰接點
        while (p!=NULL)             //所有未訪問過的相鄰點進隊
        {
            j=p->adjvex;            //鄰接點爲頂點j
            if (visited[j]==0)          //若j未訪問過
            {
                visited[j]=1;
                rear=(rear+1)%MAXV;
                Qu[rear]=j; //進隊
            }
            p=p->nextarc;           //找下一個鄰接點
        }
    }
    return k;
}

int main()
{
    ALGraph *G;
    int A[9][9]=
    {
        {0,1,1,0,0,0,0,0,0},
        {0,0,0,1,1,0,0,0,0},
        {0,0,0,0,1,1,0,0,0},
        {0,0,0,0,0,0,1,0,0},
        {0,0,0,0,0,1,1,0,0},
        {0,0,0,0,0,0,0,1,0},
        {0,0,0,0,0,0,0,1,1},
        {0,0,0,0,0,0,0,0,1},
        {0,0,0,0,0,0,0,0,0}
    };  
    ArrayToList(A[0], 9, G);
    printf("離頂點0最遠的頂點:%d",Maxdist(G,0));
    return 0;
}

測試用圖結構

運行結果：

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