正弦定理

正弦定理（The Law of Sines）是三角學中的一個基本定理。

定理定義

在任意 中，角A、B、C所對的邊長分別爲a、b、c，三角形外接園的半徑爲 R，直徑爲 D。則有：。即，一個三角形中，各邊和所對角的正弦之比相等，且該比值等於該三角形外接園的直徑（半徑的2倍）長度。

證明

做一個邊長爲a，b，c的三角形，對應角分別是A，B，C。從角C向c邊做垂線，得到一個長度爲h的垂線和兩個直角三角形。如圖所示。

很明顯： ，。因此 ，以及 。

同理，也可以得到 。

定理意義

正弦定理指出了任意三角形中三條邊與對應角的正弦值之間的一個關係式。由正弦函數在區間上的單調性可知，正弦定理非常好地描述了任意三角形中邊與角的一種數量關係。

定理推廣

在任意 中，角A、B、C所對的邊長分別爲a、b、c，三角形外接園的半徑爲 R，直徑爲 D。正弦定理進行變形有：

1、a=2*R*sinA，b=2*R*sinB，c=2*R*sinC

2、a*sinB=b*sinA，b*sinC=c*sinB，a*sinC=c*sinA

3、a:b:c=sinA:sinB:sinC

4、，等比，不變

5、S=，三角形面積公式