1.進制介紹：
十進制：
在十進制數中,每一位有0-9十個數碼,所以計數的基數是10。超過9的數必須用多位數表示，其中低位和相鄰高位之間的關係是：逢十進一，故稱爲十進制。
例如：
所以一個任意多位的十進制D均可展開爲：
若以N取代式中的10,即可得到多位任意進制(N進制)數展開式的普遍形式：
式中i的取值與十進制展開式的規定相同。N稱爲計數的基數,k爲第i位的係數,N稱爲第i位的權。
二進制：
目前在數字電路中應用最廣泛的是二進制。在二進制數中,每一位僅有0和1兩個可能的數碼,所以計數基數爲2。低位和相鄰高位間的進位關係是“逢二進一”, 故稱爲二進制。
根據N進制數展開的普遍形式可得任何一個二進制數均可展開爲：
並可利用上式計算出它所表達的十進制數的大小：
上式中分別使用下腳註2和10表示括號裏的數是二進制數和十進制數。有時也用B( Bima-ry)和D( Decimal)代替2和10這兩個腳註。
八進制
在某些場合有時也使用八進制。八進制數的每一位有0~7 八個不同的數碼,計數的基數爲8。低位和相鄰的高位之間的進位關係是“逢八進一”。任意一個八進制數可以展開爲
並可利用上式計算出相應的十進制數：
有時也用O(Oetal)代替下腳註8,表示八進制數。
十六進制
十六進制 數的每一位有十六個不同的數碼,分別用0~9.A(10)、B(11) .C(12)、D(13)、E(14)、P(15)表示。因此,任意一個十六進制數均可展開爲
並可以利用上式計算出相應的十進制數
式中的下腳註16表示括號裏的數是十六進制數，有時也用H( Hexadecimal)代替這個腳註，0X表示前綴。
小節：
不同進制數的對照表：
小拓展：
（1）一位八進制可以表示三位二進制數：
因爲三位二進制最小是000b,最大是111b,其範圍恰好在0-7,構成了八進制一位。
（2）一位十六進制可以表示爲四位二進制
十六進制數的進率是16,二進制數的進率是2,且16=2^4,說明二進制數連續進位4次,等效於16進制數進1位。這麼說可能不好理解,那麼舉個例子吧,比如15+1=16,用二進制表示就是1111+1=10000,用十六進制表示就是F+1=10。這也就說明了一位十六進制數對應四位二進制數了
2.不同進制間的轉換
（1）八進制，二進制，十六進制轉換爲十進制
都可根據上述十進制介紹中的 多位任意進制數展開式的普遍形式 進行轉換，即按位權展開式。
（2）十進制轉換爲二進制，八進制，十六進制
十進制整數轉換R進制(R可以是任何整數,比如2,8,16)整數,方法就是除R取餘。
1.十進制轉換爲二進制：
十進制整數轉換爲二進制：（除二取餘，從下往上倒序排序）
十進制小數轉換爲二進制：（乘二取整，從上向下順序排序）
2.十進制轉換爲十六進制
十進制數爲整數時，除16取餘
十進制數爲小數時，乘16取整
3.十進制轉換爲八進制
十進制爲整數時，除八取餘
十進制爲小數時，乘八取整
（3）二進制轉換爲十六進制
只要從低位到高位將整數部分每4位二進制數分爲一組並代之以等值的十六進制數,同時從高位到低位將小數部分的每4位數分爲一組並代之以等值的十六進制數,即可得到對應的十六進制數。
若二進制數整數部分最高- -組不足4位時,用0補足4位;小數部分最低一組不足 4位時，也需用0補足4位。
（2）二進制轉換爲八進制
在將二進制數轉換爲八進制數時，只要將二進制數的整數部分從低位到高位每3位分爲一組並代之以等值的八進制數，同時將小數部分從高位到低位每3位分爲一組並代之以等值的八進制數就可以了。二進制數最高一組不足3位或小數部分最低一組不足3位時,仍需以0補足三位。
（3）十六進制轉換爲二進制
轉換時只需將十六進制數的每一位用等值的4位二進制數代替就行了。
（2）八進制轉換爲二進制
若將八進制數轉換爲二進制數,則只要將八進制數的每一位代之以等值的3位二進制。
（3）八進制與十六進制之間的轉換
第一種：他們之間的轉換可以先轉成二進制然後再相互轉換。
第二種：他們之間的轉換可以先轉成十進制然後再相互轉換
建議：先將八進制轉換爲對應的二進制，再將二進制轉換爲十六進制。
3.二進制算數運算
如果我們再能設法將減法操作轉化爲某種形式的加法操作,那麼加,減,乘.除運算就全部可以用“移位”和“相加”兩種操作實現了。利用上述特點能使運算電路的結構大爲簡化。這也是
（1）反碼，補碼和補碼運算
我們已經知道，在數字電路中是用邏輯電路輸出的高、低電平表示二進制數的1和0的。
那麼數的正，負又如何表示呢?通常採用的方法是在二進制數的前面增加一位符號位。符號位爲0表示這個數是正數,符號位爲1表示這個數是負數。這種形式的數稱爲原碼。
因爲計算機只會執行加法，不會進行減法運算，所以我們考慮怎樣把二進制的減法運算變爲加法運算，這裏就出現了補碼。
可以發現：在捨棄進位的條件下，減去某個數可以用加上它的補碼來代替！！！
然後我們考慮，如果直接得到原碼的補碼的話非常麻煩，所以這裏就出現了反碼這個中介。
反碼：正數（即符號位爲0）的反碼與原碼相同，負數（即符號位爲1）的反碼爲（注意：符號位不變）原碼的數值位逐位取反（即1變爲0,0變爲1）。
補碼：正數的補碼與原碼相同，負數的補碼爲原碼的數值位（注意：符號位不變）逐位取反再加1。 即直接原碼的反碼加1即可！！！
注意:求原碼對應的補碼是逐位取反再加1；
那麼求補碼對應的原碼也是一樣，逐位取反再加1.
下面再來討論兩個用補碼錶示的二進制數相加時,和的符號位如何得到。爲此,我們在例下面再來討論兩個用補碼錶示的二進制數相加時,和的符號位如何得到。
爲此,我們在例1.4.2中列舉出了兩數相加時的四種情況。
（2）幾種常用的編碼
1.十進制碼
爲了用二進制代碼表示十進制數的0~9這十個狀態,二進制代碼至少應當有4位。4位二進制代碼一共有十六個(000-1111),取其中哪十個以及如何與0-9相對應,有許多種方案。
表1.5.1中列出了常見的幾種十進制代碼,它們的編碼規則各不相同。
（1）8421碼又稱BCD( Binary Coded Decimal)碼,是十進制代碼中最常用的一種。在這種編碼方式中,每一位二值代碼的1都代表一個固定數值,將每一位的 1代表的十進制數加起來,得到的結果就是它所代表的十進制數碼。由於代碼中從左到右每一位的1分別表示8，4，2，1,所以將這種代碼稱爲8421碼。每一位的1代表的十進制數稱爲這一位的權。8421碼中每一位的權是固定不變的,它屬於恆權代碼。
餘3碼的編碼規則與8421碼不同，如果把每–個餘3碼看作4位二進制數.則它的數值要# 1.進制介紹：
十進制：
在十進制數中,每一位有0-9十個數碼,所以計數的基數是10。超過9的數必須用多位數表示，其中低位和相鄰高位之間的關係是：逢十進一，故稱爲十進制。
例如：
所以一個任意多位的十進制D均可展開爲：
若以N取代式中的10,即可得到多位任意進制(N進制)數展開式的普遍形式：
式中i的取值與十進制展開式的規定相同。N稱爲計數的基數,k爲第i位的係數,N稱爲第i位的權。
二進制：
目前在數字電路中應用最廣泛的是二進制。在二進制數中,每一位僅有0和1兩個可能的數碼,所以計數基數爲2。低位和相鄰高位間的進位關係是“逢二進一”, 故稱爲二進制。
根據N進制數展開的普遍形式可得任何一個二進制數均可展開爲：
並可利用上式計算出它所表達的十進制數的大小：
上式中分別使用下腳註2和10表示括號裏的數是二進制數和十進制數。有時也用B( Bima-ry)和D( Decimal)代替2和10這兩個腳註。
八進制
在某些場合有時也使用八進制。八進制數的每一位有0~7 八個不同的數碼,計數的基數爲8。低位和相鄰的高位之間的進位關係是“逢八進一”。任意一個八進制數可以展開爲
並可利用上式計算出相應的十進制數：
有時也用O(Oetal)代替下腳註8,表示八進制數。
十六進制
十六進制 數的每一位有十六個不同的數碼,分別用0~9.A(10)、B(11) .C(12)、D(13)、E(14)、P(15)表示。因此,任意一個十六進制數均可展開爲
並可以利用上式計算出相應的十進制數
式中的下腳註16表示括號裏的數是十六進制數，有時也用H( Hexadecimal)代替這個腳註，0X表示前綴。
小節：
不同進制數的對照表：
小拓展：
（1）一位八進制可以表示三位二進制數：
因爲三位二進制最小是000b,最大是111b,其範圍恰好在0-7,構成了八進制一位。
（2）一位十六進制可以表示爲四位二進制
十六進制數的進率是16,二進制數的進率是2,且16=2^4,說明二進制數連續進位4次,等效於16進制數進1位。這麼說可能不好理解,那麼舉個例子吧,比如15+1=16,用二進制表示就是1111+1=10000,用十六進制表示就是F+1=10。這也就說明了一位十六進制數對應四位二進制數了
2.不同進制間的轉換
（1）八進制，二進制，十六進制轉換爲十進制
都可根據上述十進制介紹中的 多位任意進制數展開式的普遍形式 進行轉換，即按位權展開式。
（2）十進制轉換爲二進制，八進制，十六進制
十進制整數轉換R進制(R可以是任何整數,比如2,8,16)整數,方法就是除R取餘。
1.十進制轉換爲二進制：
十進制整數轉換爲二進制：（除二取餘，從下往上倒序排序）
十進制小數轉換爲二進制：（乘二取整，從上向下順序排序）
2.十進制轉換爲十六進制
十進制數爲整數時，除16取餘
十進制數爲小數時，乘16取整
3.十進制轉換爲八進制
十進制爲整數時，除八取餘
十進制爲小數時，乘八取整
（3）二進制轉換爲十六進制
只要從低位到高位將整數部分每4位二進制數分爲一組並代之以等值的十六進制數,同時從高位到低位將小數部分的每4位數分爲一組並代之以等值的十六進制數,即可得到對應的十六進制數。
若二進制數整數部分最高- -組不足4位時,用0補足4位;小數部分最低一組不足 4位時，也需用0補足4位。
（2）二進制轉換爲八進制
在將二進制數轉換爲八進制數時，只要將二進制數的整數部分從低位到高位每3位分爲一組並代之以等值的八進制數，同時將小數部分從高位到低位每3位分爲一組並代之以等值的八進制數就可以了。二進制數最高一組不足3位或小數部分最低一組不足3位時,仍需以0補足三位。
（3）十六進制轉換爲二進制
轉換時只需將十六進制數的每一位用等值的4位二進制數代替就行了。
（2）八進制轉換爲二進制
若將八進制數轉換爲二進制數,則只要將八進制數的每一位代之以等值的3位二進制。
（3）八進制與十六進制之間的轉換
第一種：他們之間的轉換可以先轉成二進制然後再相互轉換。
第二種：他們之間的轉換可以先轉成十進制然後再相互轉換
建議：先將八進制轉換爲對應的二進制，再將二進制轉換爲十六進制。
3.二進制算數運算
如果我們再能設法將減法操作轉化爲某種形式的加法操作,那麼加,減,乘.除運算就全部可以用“移位”和“相加”兩種操作實現了。利用上述特點能使運算電路的結構大爲簡化。這也是
（1）反碼，補碼和補碼運算
我們已經知道，在數字電路中是用邏輯電路輸出的高、低電平表示二進制數的1和0的。
那麼數的正，負又如何表示呢?通常採用的方法是在二進制數的前面增加一位符號位。符號位爲0表示這個數是正數,符號位爲1表示這個數是負數。這種形式的數稱爲原碼。
因爲計算機只會執行加法，不會進行減法運算，所以我們考慮怎樣把二進制的減法運算變爲加法運算，這裏就出現了補碼。
可以發現：在捨棄進位的條件下，減去某個數可以用加上它的補碼來代替！！！
然後我們考慮，如果直接得到原碼的補碼的話非常麻煩，所以這裏就出現了反碼這個中介。
反碼：正數（即符號位爲0）的反碼與原碼相同，負數（即符號位爲1）的反碼爲（注意：符號位不變）原碼的數值位逐位取反（即1變爲0,0變爲1）。
補碼：正數的補碼與原碼相同，負數的補碼爲原碼的數值位（注意：符號位不變）逐位取反再加1。 即直接原碼的反碼加1即可！！！
注意:求原碼對應的補碼是逐位取反再加1；
那麼求補碼對應的原碼也是一樣，逐位取反再加1.
下面再來討論兩個用補碼錶示的二進制數相加時,和的符號位如何得到。爲此,我們在例下面再來討論兩個用補碼錶示的二進制數相加時,和的符號位如何得到。
爲此,我們在例1.4.2中列舉出了兩數相加時的四種情況。
（2）幾種常用的編碼
1.十進制碼
爲了用二進制代碼表示十進制數的0~9這十個狀態,二進制代碼至少應當有4位。4位二進制代碼一共有十六個(000-1111),取其中哪十個以及如何與0-9相對應,有許多種方案。
表1.5.1中列出了常見的幾種十進制代碼,它們的編碼規則各不相同。
（1）8421碼又稱BCD( Binary Coded Decimal)碼,是十進制代碼中最常用的一種。在這種編碼方式中,每一位二值代碼的1都代表一個固定數值,將每一位的 1代表的十進制數加起來,得到的結果就是它所代表的十進制數碼。由於代碼中從左到右每一位的1分別表示8，4，2，1,所以將這種代碼稱爲8421碼。每一位的1代表的十進制數稱爲這一位的權。8421碼中每一位的權是固定不變的,它屬於恆權代碼。
餘3碼的編碼規則與8421碼不同，如果把每–個餘3碼看作4位二進制數.則它的數值要# 1.進制介紹：
十進制：
在十進制數中,每一位有0-9十個數碼,所以計數的基數是10。超過9的數必須用多位數表示，其中低位和相鄰高位之間的關係是：逢十進一，故稱爲十進制。
例如：
所以一個任意多位的十進制D均可展開爲：
若以N取代式中的10,即可得到多位任意進制(N進制)數展開式的普遍形式：
式中i的取值與十進制展開式的規定相同。N稱爲計數的基數,k爲第i位的係數,N稱爲第i位的權。
二進制：
目前在數字電路中應用最廣泛的是二進制。在二進制數中,每一位僅有0和1兩個可能的數碼,所以計數基數爲2。低位和相鄰高位間的進位關係是“逢二進一”, 故稱爲二進制。
根據N進制數展開的普遍形式可得任何一個二進制數均可展開爲：
並可利用上式計算出它所表達的十進制數的大小：
上式中分別使用下腳註2和10表示括號裏的數是二進制數和十進制數。有時也用B( Bima-ry)和D( Decimal)代替2和10這兩個腳註。
八進制
在某些場合有時也使用八進制。八進制數的每一位有0~7 八個不同的數碼,計數的基數爲8。低位和相鄰的高位之間的進位關係是“逢八進一”。任意一個八進制數可以展開爲
並可利用上式計算出相應的十進制數：
有時也用O(Oetal)代替下腳註8,表示八進制數。
十六進制
十六進制 數的每一位有十六個不同的數碼,分別用0~9.A(10)、B(11) .C(12)、D(13)、E(14)、P(15)表示。因此,任意一個十六進制數均可展開爲
並可以利用上式計算出相應的十進制數
式中的下腳註16表示括號裏的數是十六進制數，有時也用H( Hexadecimal)代替這個腳註，0X表示前綴。
小節：
不同進制數的對照表：
小拓展：
（1）一位八進制可以表示三位二進制數：
因爲三位二進制最小是000b,最大是111b,其範圍恰好在0-7,構成了八進制一位。
（2）一位十六進制可以表示爲四位二進制
十六進制數的進率是16,二進制數的進率是2,且16=2^4,說明二進制數連續進位4次,等效於16進制數進1位。這麼說可能不好理解,那麼舉個例子吧,比如15+1=16,用二進制表示就是1111+1=10000,用十六進制表示就是F+1=10。這也就說明了一位十六進制數對應四位二進制數了
2.不同進制間的轉換
（1）八進制，二進制，十六進制轉換爲十進制
都可根據上述十進制介紹中的 多位任意進制數展開式的普遍形式 進行轉換，即按位權展開式。
（2）十進制轉換爲二進制，八進制，十六進制
十進制整數轉換R進制(R可以是任何整數,比如2,8,16)整數,方法就是除R取餘。
1.十進制轉換爲二進制：
十進制整數轉換爲二進制：（除二取餘，從下往上倒序排序）
十進制小數轉換爲二進制：（乘二取整，從上向下順序排序）
2.十進制轉換爲十六進制
十進制數爲整數時，除16取餘
十進制數爲小數時，乘16取整
3.十進制轉換爲八進制
十進制爲整數時，除八取餘
十進制爲小數時，乘八取整
（3）二進制轉換爲十六進制
只要從低位到高位將整數部分每4位二進制數分爲一組並代之以等值的十六進制數,同時從高位到低位將小數部分的每4位數分爲一組並代之以等值的十六進制數,即可得到對應的十六進制數。
若二進制數整數部分最高- -組不足4位時,用0補足4位;小數部分最低一組不足 4位時，也需用0補足4位。
（2）二進制轉換爲八進制
在將二進制數轉換爲八進制數時，只要將二進制數的整數部分從低位到高位每3位分爲一組並代之以等值的八進制數，同時將小數部分從高位到低位每3位分爲一組並代之以等值的八進制數就可以了。二進制數最高一組不足3位或小數部分最低一組不足3位時,仍需以0補足三位。
（3）十六進制轉換爲二進制
轉換時只需將十六進制數的每一位用等值的4位二進制數代替就行了。
（2）八進制轉換爲二進制
若將八進制數轉換爲二進制數,則只要將八進制數的每一位代之以等值的3位二進制。
（3）八進制與十六進制之間的轉換
第一種：他們之間的轉換可以先轉成二進制然後再相互轉換。
第二種：他們之間的轉換可以先轉成十進制然後再相互轉換
建議：先將八進制轉換爲對應的二進制，再將二進制轉換爲十六進制。
3.二進制算數運算
如果我們再能設法將減法操作轉化爲某種形式的加法操作,那麼加,減,乘.除運算就全部可以用“移位”和“相加”兩種操作實現了。利用上述特點能使運算電路的結構大爲簡化。這也是
（1）反碼，補碼和補碼運算
我們已經知道，在數字電路中是用邏輯電路輸出的高、低電平表示二進制數的1和0的。
那麼數的正，負又如何表示呢?通常採用的方法是在二進制數的前面增加一位符號位。符號位爲0表示這個數是正數,符號位爲1表示這個數是負數。這種形式的數稱爲原碼。
因爲計算機只會執行加法，不會進行減法運算，所以我們考慮怎樣把二進制的減法運算變爲加法運算，這裏就出現了補碼。
可以發現：在捨棄進位的條件下，減去某個數可以用加上它的補碼來代替！！！
然後我們考慮，如果直接得到原碼的補碼的話非常麻煩，所以這裏就出現了反碼這個中介。
反碼：正數（即符號位爲0）的反碼與原碼相同，負數（即符號位爲1）的反碼爲（注意：符號位不變）原碼的數值位逐位取反（即1變爲0,0變爲1）。
補碼：正數的補碼與原碼相同，負數的補碼爲原碼的數值位（注意：符號位不變）逐位取反再加1。 即直接原碼的反碼加1即可！！！
注意:求原碼對應的補碼是逐位取反再加1；
那麼求補碼對應的原碼也是一樣，逐位取反再加1.
下面再來討論兩個用補碼錶示的二進制數相加時,和的符號位如何得到。爲此,我們在例下面再來討論兩個用補碼錶示的二進制數相加時,和的符號位如何得到。
爲此,我們在例1.4.2中列舉出了兩數相加時的四種情況。
（2）幾種常用的編碼
1.十進制碼
爲了用二進制代碼表示十進制數的0~9這十個狀態,二進制代碼至少應當有4位。4位二進制代碼一共有十六個(000-1111),取其中哪十個以及如何與0-9相對應,有許多種方案。
表1.5.1中列出了常見的幾種十進制代碼,它們的編碼規則各不相同。
（1）8421碼又稱BCD( Binary Coded Decimal)碼,是十進制代碼中最常用的一種。在這種編碼方式中,每一位二值代碼的1都代表一個固定數值,將每一位的 1代表的十進制數加起來,得到的結果就是它所代表的十進制數碼。由於代碼中從左到右每一位的1分別表示8，4，2，1,所以將這種代碼稱爲8421碼。每一位的1代表的十進制數稱爲這一位的權。8421碼中每一位的權是固定不變的,它屬於恆權代碼。
（2）餘3碼的編碼規則與8421碼不同，如果把每–個餘3碼看作4位二進制數.則它的數值要比它所表示的十進制數碼多3,故而將這種代碼稱爲餘3碼。
如果將兩個餘3碼相加,所得的和將比十進制數和所對應的二進制數多6。
因此,在用餘3碼做十進制加法運算時.若兩數之和爲10.正好等於二進制數的16.於是便從高位自動產生進位信號。此外,從表1.5.1中還可以看出,0和9、1和8.2和7,3和6.4和5的餘3碼互爲反碼,這對於求取對10的補碼是很方便的。
餘3碼不是恆權代碼。如果試圖將每個代碼視爲二進制數,並使它等效的十進制數與所表示的代碼相等,那麼代碼中每一位的1所代表的十進制數在各個代碼中不能是固定的。
（3）2421碼是一種恆權代碼,它的0和9.1和8.2和7,3和6.4和5也互爲反碼,這個特點和餘3碼相仿。
（4）5211碼是另一種恆權代碼。待學了第六章中計數器的分頻作用後可以發現，如果按8421碼接成十進制計數器,則連續輸入計數脈衝時,4個觸發器輸出脈衝對於計數脈衝的分頻比從低位到高位依次爲5:2:1:1。可見,5211 碼每一位的權正好與8421碼十進制計數器4個觸發器輸出脈衝的分頻比相對應。這種對應關係在構成某些數字系統時很有用。
（5）餘3循環碼是- -種變權碼,每一位的1在不同代碼中並不化表固定的數值。它的主要特點是相鄰的兩個代碼之間僅有一位的狀態不同,
2.格雷碼
格雷碼(GrayCode)又稱循環碼。從表1.5.2的4位格雷碼編碼表中可以看出格雷碼的構成方法,這就是每一位的狀態變化都按一定的 順序循環。如果從0000開始,最右邊一位的狀態按0110順序循環變化，右邊第二位的狀態按01011100 順序循環變化，右邊第三位按00011111100000順序循環變化。可見,自右向左，每一位狀態循環中連續的0,1數目增加一倍。由於4位格雷碼只有16 個,所以最左邊一位的狀態只有半個循環,即0000001111111。按照上述原則,我們就很容易得到更多位數的格雷碼。
與普通的二進制代碼相比,格雷碼的最大優點就在於當它按照表1.5.2的編碼順序依次變化時,相鄰兩個代碼之間只有一位發生變化。這樣在代碼轉換的過程中就不會產生過渡“噪聲”。而在普通二進制代碼的轉換過程中,則有時會產生過渡噪聲。例如，第四行的二進制代碼0011轉換爲第五行的0100過程中,如果最右邊一位的變化比其他兩位的變化慢,就會在一個極短的瞬間出現0101狀態,這個狀態將成爲轉換過程中出現的噪聲。而在第四行的格雷碼0010向第五行的0110轉換過程中則不會出現過渡噪聲。這種過渡噪聲在有些情況下甚至會影響電路的正常工作，這時就必須採取揩施加以避免。在第4.9節中我們還將進一步討論這個問題：
十進制代碼中的餘3循環碼就是取4位格雷碼中的十個代碼組成的，它仍然具有格雷碼的優點,即兩個相鄰代碼之間僅有一位不同。