一階RC低通濾波電路數字化

1. 一階RC電路

1.1 電路圖

其中，$R$爲濾波電阻，$C$爲濾波電容，$U_{i}$爲輸入電壓，$U_{0}$爲輸出電壓。

1.2 時域表達式

$U_{0} = U_{i} - RC\frac{dU_{0}}{dt}$

1.3 傳遞函數

同時求拉氏變換，在零初始條件下可得：
$U_{0}(s)=U_{i}(s)-RCsU_{0}$
則傳遞函數：
$G(s) = \frac{U_{0}(s)}{U_{i}(s)}=\frac{1}{1+RCs}$

1.4 $Z$變化 & 差分方程

已知傳遞函數，可利用雙線性變換、一階前向差分和一階後向差分等方式求取$Z$函數。
(1) 一階後向差分
$s=\frac{1-z^{-1}}{T}$
其中，$T$爲離散週期，也就是採樣週期。
寫成$Z$函數爲：
$Y(Z) = \frac{T}{T+RC}X(Z)+\frac{RC}{T+RC}Y(Z)Z^{-1}$
寫成差分方程爲：
$y(n-1) = \frac{T}{T+RC}x(n)+\frac{RC}{T+RC}y(n-1)$
(2) 雙線性變換
$s = \frac{2}{T} \frac{1-Z^{-1}}{1+Z^{-1}}$
寫成$Z$函數爲：
$Y(Z) = \frac{T}{T+2RC}X(Z) + \frac{T}{T+2RC}Z^{-1}X(Z)+\frac{2RC-T}{T+2RC}Z^{-1}Y(Z)$

1.5 一階RC數字濾波器的基本算法

按照一階差分方程的形式：
$y(n) = a * x(n) + (1 - a)*x(n)$
其中，$a$是一個和採樣週期及RC有關的參數，當採樣週期特別小時，可認爲：
$a = \frac{T}{RC}$
此時，截止頻率：
$f_{L} = \frac{a}{2\pi T}$
延遲時間爲：
$t_{\tau}=\frac{T}{a}$