週期函數的傅里葉級數展開

週期函數

週期函數表達式爲：
f(x) = f(x + kT) (k = 1,2,3…)
如果該週期函數滿足狄利赫裏條件，那麼該週期可以展開爲傅里葉級數：
$f(t) = \frac{a_{0}}{2} + \sum_{n=1}^\infty(a_{0}\cos{(n\omega_{1}t)}+b_{n}\sin{(n\omega_{1}t)})$
其中傅里葉係數計算如下：
$\frac{a_{0}}{2} = \frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T }{f(t)dt}$
$a_{n} = \frac{2}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}{f(t)\cos{n\omega_{1}tdt}}$
$b_{n} = \frac{2}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}{\sin{n\omega_{1}tdt}}$

方波信號的傅里葉級數展開

常見方波信號有兩種，第一種表達式爲：
$f(t) = \begin{cases} U &\text{} kT\le t \le (kT+\frac{a}{2}) \\ 0 &\text{}(kT+ \frac{a}{2}) \le t \le (kT + a) \end{cases}$
則方波信號得傅里葉級數展開得係數爲：
$\frac{a_{0}}{2} = \frac{U}{2}$
$a_{n} = \frac{U}{n\pi}\sin{n\pi} = 0$
$b_{n} = \frac{2U}{n\pi}$
所以方波函數的傅里葉展開式爲：
$f(t) = \frac{U}{2} + \frac{2U}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n} \sin{2\pi f_{1}t}}$
式中：f₁ 爲週期函數的頻率。

第二種常見方波表達式爲：

$f(t) = \begin{cases} U &\text{} kT\le t \le (kT+\frac{a}{2}) \\ -U &\text{}(kT+ \frac{a}{2}) \le t \le (kT + a) \end{cases}$
則方波信號得傅里葉級數展開得係數爲：
$\frac{a_{0}}{2} = 0$
$a_{n} = 0$
$b_{n} = \frac{4U}{n\pi}$
所以方波函數的傅里葉展開式爲：
$f(t) = \frac{U}{2} + \frac{4U}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n} \sin{2\pi f_{1}t}}$
式中：f₁ 爲週期函數的頻率。