伯德圖（Bode圖）分析系統性能

1. 基本概念

1. 定義
   伯德圖是系統頻率響應的一種圖示方法。也稱爲開環對數頻率特性曲線。
2. 作用
   根據Bode圖，從系統頻率的角度分析系統性能。
3. 座標系
   伯德圖由兩張圖組成，一個是幅頻特性曲線，另一個是相頻特性曲線。
   伯德圖橫座標爲對數刻度，縱座標幅值或相角採用線性分度。
   幅頻特性曲線，其中橫座標上爲$\omega$，單位爲$rad/s$，刻度爲對數刻度，按照$\lg{\omega}$刻度；縱座標爲$20 \lg{|G(j\omega)|}$，單位爲分貝（dB），按照線性刻度。
   相位特性曲線，其中橫座標上爲$\omega$，單位爲$rad/s$，刻度爲對數刻度，按照$\lg{\omega}$刻度；縱座標爲$\varphi(\omega)$，單位爲度（°）按照線性刻度。

2. 伯德圖繪製

繪製伯德圖的一般步驟爲：首先將開環頻率特性改寫爲基本環節的乘積，畫出各基本環節的伯德圖，然後把各基本環節伯德圖的對數幅值相加，相角相加，就得到系統的伯德圖。
其中基本環節有：

1. 比例環節；
2. 慣性環節；
3. 一階微分環節；
4. 積分環節；
5. 微分環節；
6. 振盪環節；
7. 二階微分環節；
8. 延遲環節。

伯德圖幅頻特性曲線繪製的具體步驟：

1. 確定系統開環增益$K$，並計算$20\lg{K}$；
2. 確定各個具有轉折頻率環節的轉折頻率，標在座標軸上；
3. 在座標軸上找出橫座標 $\omega =1$，縱座標爲 $20\lg{K}$的A點；
4. 過A點做一直線，使其斜率等於-20vdB/十倍頻程。當v=0, v=1, v=2時，斜率分別是(0，-20，-40)/十倍頻程；
5. 從低頻段第一個轉折頻率開始做斜直線，該直線的斜率等於過A點直線的斜率加這個環節的斜率（慣性環節加-20，振盪環節加-40，一階微分環節加+20的斜率），這樣過每一個轉折頻率都要進行斜率的加減；
6. 頻段最後的斜線的斜率應等於-20(n-m) dB/十倍頻程；
7. 若系統中有振盪環節，當 $\xi<0.4$ 時，需對$L(\omega)$進行修正。

伯德圖相頻曲線繪製的具體步驟：

1. 繪製各個環節的相頻曲線；
2. 各個環節的相頻曲線相加；
   當 $\omega\to0$ 時，$\varphi(\omega)\to-v\cdot90\degree$
   當 $\omega\to\infty$ 時，$\varphi(\omega)\to-(n-m)\cdot90\degree$

3. 系統分析

3.1 對數頻率穩定判據

一個反饋控制系統，其閉環特性方程正實部根個數爲$Z$，當$Z$爲0時系統穩定，否則不穩定。而$Z$的計算方法之一就是根據開環傳遞函數和Bode圖確定。具有公式如下：
$Z = P - 2N$
其中：$P$爲的開環傳遞函數右半$s$平面極點數；$Z$爲Bode圖幅頻曲線中幅值爲正的頻率範圍內，相頻曲線對-180°線正負穿越之差。

3.2 相位裕量 & 幅值裕量

1. 原始定義
   相位裕量：開環幅頻曲線幅值爲1對用的相角值加上180°，稱爲$\gamma$ 。
   幅值裕量：開環幅相曲線與負實值交點處的模值$|G(j\omega_{g})|$的倒數，稱爲$h$。
   截止頻率：一般指幅頻截止頻率，Bode圖幅頻曲線與橫軸交點的頻率，稱爲 $\omega_{c}$。
   相頻截止頻率：Bode圖相頻曲線與-180°線交點的頻率，稱爲 $\omega_{g}$。

2. 物理意義
   相位裕量：如果系統對頻率信號 $\omega_{c}$ 相位再滯後 值，系統就處於臨界穩定狀態。
   幅值裕量：如果系統的開環放大係數增大到原來的$h$倍，則閉環系統就進入臨界穩定狀態。而在應用中， 幅值裕量常常用分貝值$L_{h}$表示。
   $L_{h} = 0 - 20\lg{|G(j\omega_{g})|}$

3. 由伯德圖計算方法
   相位裕量：伯德圖上截止頻率對應的相位曲線上的角度與-180的差值。
   幅值裕量：伯德圖幅頻曲線上橫軸與相位截止頻率對應幅頻曲線值的差值。

4. 系統分析
   相位裕量：$\gamma>0$則系統穩定，否則系統不穩定。$\gamma$ 值越大，其系統的穩定程度越高，工程上一般要求 $\gamma≥40\degree(40\degree-60\degree)$ 。
   幅值裕量：$L_{h}>0$則系統穩定，否則系統不穩定。$L_{h}$值越大，其閉環系統穩定程序越高。一般要求$L_{h} \geqslant6 dB(6 dB-10 dB)$ 。

3.3 三段頻分析系統性能

低頻段是指伯德圖在第一個轉折頻率之前的區間，該段區間由開環增益和積分環節決定；中頻段是指Bode圖在截止頻率 $\omega_{c}$ 附近的區間；高頻段是指頻率 $\omega > 10\omega_{c}$的區間。

1. 低頻段與系統穩定精度的關係
   該低頻段的斜率愈小，位置愈高，對應於系統積分環節的數目愈多，開環增益K值愈大。故其閉環系統在滿足穩定的條件下，其穩態誤差愈小，系統的穩態精度愈高。
2. 中頻段與系統動態性能的關係
   該中頻段斜率小於-60，則很難使閉環系統穩定；若等於-40，所佔頻率區間不宜過寬，則閉環系統可能穩定，即使穩定，其相穩定裕度也較小，系統的平穩性較差；如果中頻段斜率爲-20，且佔據較寬的頻段區間，一般說來，不僅可以保證系統穩定，而且可以使相穩定裕度增大，取得較好的平穩性。同時以提高截止頻率來保證系統要求的快速性。
3. 高頻段與系統抗干擾能力
   系統開環對數幅頻在高頻段的幅值，直接反映了系統對輸入高頻干擾信號的抑制能力。高頻特性的分貝值愈低，系統抗干擾能力愈強。

3.4 其他指標對系統的影響

1. 帶寬
   系統跟蹤正弦輸入信號，輸出信號的幅值下降到和輸入幅值的某一個比例時的頻率。
   在系統中，高頻信號體現的是信號的變換快慢，一個信號中如果高頻信號幅值高，則這個信號變換速度也快。所以如果一個系統的帶寬低，雖然輸入頻率還是在帶寬範圍內，那麼這個系統在響應變換快速信號時（比如階躍），他的輸出就不能響應的變化速度快，會有一個平滑的過程，並且過程長幅值低，及動態指標差（響應時間等）。反之，如果系統的帶寬高，則可以動態性能好，但此時會影響幅值裕量和相位裕量，影響系統的穩定性能。所以，一個系統的帶寬需要高，但不能太高。
2. 截止頻率
   截止頻率根據定義，是指增益爲1的時候對應頻率，那麼其分析規律和帶寬是一致的。