矩陣(Matrix)
不要把矩陣放在分母上
矩陣的概念
有m×n個數排成的m行n列的數表稱爲m行n列的矩陣，簡稱m×n。記作
這m×n個數稱爲矩陣A的元素，簡稱爲元，數aij位於矩陣A的第i行第j列，稱爲矩陣A的(i,j)元，以數 aij爲(i,j)元的矩陣可記爲(aij)或(aij)m × n，m×n矩陣A也記作Amn
實矩陣是指矩陣中所有數都是實數的矩陣。
復矩陣是指元素中含有複數的矩陣。
行矩陣是指只有一行的矩陣。
列矩陣是指只有一列的矩陣。
零矩陣是指元素都是0的矩陣，記作"0"。
負矩陣：將原矩陣的所有元素取相反數後得到的矩陣是原矩陣的負矩陣。
方陣是指行數和列數相等的矩陣，記作An，n爲階數。
單位矩陣是指主對角線全爲1，剩餘爲0的矩陣，記作E或者I，E3代表3階單位矩陣。
同型矩陣:如果兩個或者兩個以上的矩陣的行數和列數相同，那麼我們就說這兩個或兩個以上是同型矩陣。
矩陣的運算
加法
兩個矩陣相加就是對應元素相加(同型矩陣才能相加減)，例
加法交換律:A+B=B+A
加法結合律:(A+B)+C=A+(B+C)
A+0=A
A+(-A)=0
減法
兩個矩陣相減就是對應元素相減(同型矩陣才能相加減)，例
矩陣的數乘運算
數乘：一個數乘以一個矩陣就是該數乘以該矩陣中的所有元素。
即
矩陣提公因子:當矩陣所有元素均有公因子k，該公因子外提一次。
k(A+B)=kA=kB
(k+l)A=kA+lA
k(lA)=(kl)A
矩陣的乘法
矩陣相乘的前提條件:第一個矩陣的列數=第二個矩陣的行數
結果矩陣
- 結果矩陣的行數=第一個矩陣的行數
- 結果矩陣的列數=第二個矩陣的列數
與行列式相似，第一行乘以第一列的和作爲第一行第一列的數字，第一行乘以第二列的和作爲第一行第二列的數字···以此類推。
例
AB不等於BA AB有意義的時候BA不一定有意義
如果AB=BA，那麼AB是可交換的。
AB中，A爲左乘，B爲右乘
AB=0推不出A=0或B=0
AB=AC，A不等於0推不出B=C
零矩陣與任何矩陣相乘都等於0(需要符合矩陣相乘的條件)
任何矩陣與單位矩陣E相乘，都等於原矩陣
矩陣相乘的運算規律:
乘法結合律:(AB)C=A(BC
分配率:(A+B)C=AC+BC,C(A+B)=CA+CB
k(AB)=(kA)B=A(kB)
AB可交換指的是AB=BA，且AB爲同階方陣。
矩陣的冪運算
A必須是方陣
A的k次方=AA···A(k個A相乘)
A的k1次方乘以A的k2次方=A的k1+k2次方
A的k1次方的k2次方=A的k1k2次方
因爲AB不滿足交換律，因此一般情況下
矩陣的轉置
矩陣的轉置與行列式的轉置相同，也就是交換行和列
轉置的性質
特殊矩陣(方陣)
數量矩陣
數與數量矩陣相乘或者兩個數量矩陣相加仍然爲數量矩陣。且是在a上進行加減乘。
(aE)B=B(aE)=aB
PS AE=EA=A中的單位矩陣E不一定是同一個單位矩陣.
對角形矩陣
數量矩陣是一種特殊的對角形矩陣
左乘相當於乘行
右乘相當於乘列
三角矩陣
上三角矩陣
下三角矩陣
主對角線以上爲0，例
對稱矩陣和反對稱矩陣
對稱矩陣
以主對角線爲軸，上下相等，例
對稱矩陣性質:
定理
A、B是對稱矩陣，如果AB對稱，那麼他的充要條件是AB可交換。
反對稱矩陣
以主對角線爲軸，主對角線全爲0，上下互爲相反數，例
對稱矩陣主對角線沒有要求，但是反對稱矩陣主對角線必須爲0
反對稱矩陣性質
