CodeForces - 1312D Count the Arrays(組合數學)

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題目大意：給出一個 n 和 m ，求滿足條件的數組有多少個

1. 數組包含 n 個元素
2. 每個元素的取值爲 1 ~ m
3. 包含且僅包含一對相同的元素
4. 存在一個位置 pos ，使得 [ 1 , pos ] 內嚴格遞增，[ pos , n ] 內嚴格遞減

題目分析：讀完題後不難看出是一道排列組合的題目，本着先選數，再排序的原則，我們一步步分析

首先我們需要選出 n 個元素才能構成一個數組，因爲需要有一對相同的元素，因此這裏我們暫時只需要選出 n - 1 個元素就足夠了，共 C( m , n - 1 ) 種情況，因爲題目中需要保證在 pos 位置的兩側嚴格遞增或遞減，那麼說明最大值是唯一的，此時在已經選出的 n - 1 個元素中，減去一個最大值，還剩 n - 2 個元素可以重複一遍，滿足題目中的第三個條件，到這一步爲止，我們已經處理完了選數的問題，也就是 C( m , n - 1 ) * ( n - 2 ) 種選取方案

接下來需要分析順序問題，相對於選數問題來說，順序可能稍微有一丟丟難度，不過一步一步來還是問題不大的，首先我們現在已經選出了 n 個滿足前三個條件的元素了，因爲滿足嚴格遞增和嚴格遞減的限制，所以重複的那個數，以及最大值，這三個數的相對位置都是固定不變的，一定滿足最大值位於最中間，而重複的兩個值分別位於兩側，其他的 n - 3 個數可能會如何分佈呢，無非是在最大值的左側或右側兩種情況，我們可以發現，如果這 n - 3 個數在左側或右側的情況固定下來之後，因爲題目中第四個條件的限制，數組的順序也隨之固定下來了，且是唯一的，這樣關於順序的方案數也就呼之欲出了：pow( 2 , n - 3 )

其實看題解的話這個題目的難度並不是很大，我感覺難就難在，考慮順序的時候，可能會陷入如何分配最大值的位置的陷阱中去，也就是從絕對位置的方向出發，從而越走越偏，其實不然，因爲如果考慮絕對位置的話會使題目複雜化，所以我們不妨從相對位置下手，會起到事半功倍的效果

實現代碼的話也沒什麼難度，需要用到的數論知識就是關於逆元的求法了，因爲組合數涉及到了取模以及除法，而給出的模數是一個質數，所以直接費馬小定理求逆元然後亂搞就好了

代碼：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<stack>
#include<climits>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<sstream>
#include<unordered_map>
using namespace std;
       
typedef long long LL;
      
typedef unsigned long long ull;
       
const int inf=0x3f3f3f3f;
  
const int N=110;

const int mod=998244353;

LL q_pow(LL a,LL b)
{
	if(b<0)
		return 0;
	LL ans=1;
	while(b)
	{
		if(b&1)
			ans=ans*a%mod;
		a=a*a%mod;
		b>>=1;
	}
	return ans;
}

LL C(int n,int m)
{
	LL ans1=1;//分子 
	LL ans2=1;//分母 
	for(int i=0;i<m;i++)
	{
		ans1=ans1*(n-i)%mod;
		ans2=ans2*(i+1)%mod;
	}
	ans2=q_pow(ans2,mod-2);
	return ans1*ans2%mod;
}
//C(m,n-1)*(n-2)*pow(2,n-3);
int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
//  freopen("input.txt","r",stdin);
//  freopen("output.txt","w",stdout);
#endif
//  ios::sync_with_stdio(false);
	int n,m;
	scanf("%d%d",&n,&m);
	printf("%lld\n",C(m,n-1)*(n-2)%mod*q_pow(2,n-3)%mod);














    return 0;
}