本文中，我將介紹半羣，獨異點，羣，子羣，阿貝爾羣，陪集和拉格朗日定理
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半羣，獨異點，羣的定義
在理解羣之前，我們要先清楚什麼是代數系統。其實代數系統可以簡單理解成使用符號表示的某一種運算。其實和程序設計中算法的定義有點像，總的來說就可以把運算當成一個黑盒子，我們給定一個輸入，那麼就可以根據黑盒子的運算規則得到相應的輸出。
我們舉一個生活中的例子。有一臺自動售貨機，假設售貨機只接收五元紙幣和十元紙幣，我們可以根據接收貨幣和吐出商品的情況給出這個代數系統的運算結果集，我們用*表示這個運算。
| 運算符號* | 五元紙幣 | 十元紙幣 |
| 五元紙幣 | 橘子水 | 可樂 |
| 十元紙幣 | 可樂 | 冰淇淋 |
上面的這個運算比較容易理解，就是你投入兩張五元紙幣，可以買到橘子水，投入一張十元紙幣和一張五元紙幣可以買到可樂，以此類推。
那麼由於我們投入的是紙幣，得到的是飲料或者食物，所以我們這個代數系統是不封閉的。
相對的，假如我們投入的是紙幣，得到的也是紙幣，那麼我們就稱這個代數系統是封閉的。
| △ | a | b |
| a | a | b |
| b | b | a |
上圖的代數系統就是封閉的，下面我們來給出羣的定義。
半羣的定義：設<G, *>是一個代數系統，若*滿足：
1）在G上的*運算是封閉的
2）G上的*運算是可結合的（如a*b*c=a*(b*c)）
則<G, *>爲半羣。注意，這裏的*不是單指乘法運算，而是廣義的類似未知數的一個運算符代號，可以表示任意運算。
假設<G, *>是半羣，並且：
3）G上的*運算存在幺元（或者說單位元）e
那麼<G, *>是獨異點。這裏的幺元對於乘法運算來說就是1，對於加法運算來說就是0.
假設<G, *>是一個獨異點，並且：
4）對於G中的每一個元素a，都存在元素b使得a*b=e
那麼<G, *>是羣，此時b爲a的逆，a也爲b的逆，可以記爲b=a^(-1)
除了幺元之外，還有一個定義叫零元。在乘法中，幺元乘以任何一個數都是它本身，而零元乘以任何一個數都是零元。
例1： 設集合S={淺色，深色}，定義在S上的二元運算*如下表所示
| * | 淺色 | 深色 |
| 淺色 | 淺色 | 淺色 |
| 深色 | 深色 | 深色 |
其中，淺色就是幺元，深色就是零元。
注：羣中不可能有零元。
當代數系統<G, *>只滿足*運算在G中封閉這個條件的時候，<G, *>是廣羣，我們用一張圖描述各種羣的包含關係。
設<G, *>是一個羣，如果G是有限集，那麼稱<G, *>爲有限羣，G中元素的個數通常稱爲有限羣的階數，記爲|G|；如果G是無限集，那麼稱<G, *>爲無限羣。
子羣判定定理
子羣判定定理1：設<G, *>是一個羣，B是G的非空子集，如果B是一個有限集，那麼，只要運算*在B上封閉，<B, *>必定是<G, *>的子羣。
子羣判定定理2：設<G, △>是羣，S是G的非空子集，如果對於S的任意元素a，b有a△b^(-1)∈S，則<S, △>是<G, △>的子羣。
阿貝爾羣
如果羣<G, *>中的*運算時可交換的，則稱<G, *>爲阿貝爾羣，或稱交換羣
一個羣<G, *>是阿貝爾羣的充要條件是，對於任意a，b∈G，有(a*b)*(a*b)=(a*a)*(b*b)
循環羣
設羣<G, *>中存在一個元素a，是的G中所有的元素都是由a的冪構成的，則稱羣<G, *>爲循環羣，元素a稱爲羣<G, *>的生成元
例如，60°就是羣<{0°，60°，120°，180°，240°，360°}，☆>的生成元，該羣是一個循環羣。
陪集與拉格朗日定理
陪集的定義：設<H, *>是<G, *>的子羣，a∈G，則集合{a}H（H{a}）稱爲由a確定的H在G中的左陪集（右陪集），簡稱爲H關於a的左陪集（右陪集）
例如：設G=R*R，R爲實數集，G上的一個二元運算+定義爲
<x₁, y₁> + <x₂, y₂> = <x₁+x₂, y₁+y₂>
則，<G, +>是一個具有幺元<0, 0>的阿貝爾羣
設H={<x, y>| y=2x}，那麼<H, +>是<G, +>的一個子羣。對於<x0, y0>∈G, H關於<x0, y0>的左陪集爲<x0, y0>H.
其中G爲笛卡爾座標系，H爲y=2x的的直線，<x0, y0>H爲與H平行的直線，因爲我們可以找到一個實數b，使得y+y0=2(x+x0)+b
拉格朗日定理：設羣<H, *>是羣<G, *>的一個子羣，則有：
a）R={<a, b>| a∈G, b∈G且a^(-1)*b∈H}是G的一個等價關係。對於a∈G，若記[a]R={x | x∈G且<a,x>∈R}，則有[a]R=aH
b）如果G是有限羣，|G|=n, |H|=m，則m|n（整除關係）
證明如下：
（a）對於任意a∈G，必有a^(-1)∈G，使得a*a^(-1)=e∈H，所以<a, a>∈R，滿足自反性
若<a, b>∈R，則a^(-1)*b∈H，因爲H是G的子羣，所以有(a^(-1)*b)^(-1) = b^(-1)*a∈H，所以<b, a>∈R，滿足對稱性
若<a, b>∈R， <b, c>∈R，則有a^(-1)*b∈H並且b^(-1)*c∈H，由於運算的封閉性，有
a^(-1)*b*b^(-1)*c∈H，即a^(-1)*c∈H，即<a, c>∈H，滿足傳遞性
綜上所述，R是G上的一個等價關係，得證。 吧
對於a∈G，我們有：b∈[a]R，當且僅當<a, b>∈R，即當且僅當a^(-1)*b∈H，即b∈aH。因此[a]R=aH
（b）由於R是G中的一個等價關係，可以將G劃分爲等價類[a1]R,[a2]R,...[ak]R.
有G=∪[ai]R=∪aiH
對於H中任意兩個不相等的h1和h2，a∈G，必有a*h1 ≠ a*h2，所以有|aiH|=|H|=m, i=1,2...k
所以n = |G| = (a1+a2+a3+...+ak)H = mk , 得證