第二章 命題邏輯等值演算
2.1等值式
（1）A<->B爲重言式：如果A、B共同含有n個命題變項，A或B可能含有啞元。若A與B有相同的真值表，則說明在所有的2^n個賦值下，A與B的真值都相同，因而等價式A<->B爲重言式。
（2）等值：如果等價式A<->B爲重言式，那麼A與B是等值的，記做A<=>B。
（3）等值式模式：根據p<->非非p是重言式，那麼我們可以推導出，對於一個A是任意的命題公式，那麼都有A<=>非非A，成這個式子爲等值式模式。下面給出常用的16組等值式模式：
以上16組等值式模式共包含了24個重要的等值式，他們都是用元語言符號書寫的。等值式模式中的A,B,C，可以替換成任意的公式，每個等值式模式都可以各處無窮多個同類型的具體的等值式。
課本上包含了若干的例題，可以驗證一下。我們來看一個經典的例題：
2.2 析取範式與合取範式
（1）析取式：用析取真值連接詞“∨”將兩個或兩個以上的命題聯結而成的一種命題形式
合取式：用合取真值連接詞“∧”將兩個或兩個以上的命題聯結而成的一種命題形式
合取式：用合取真值連接詞“∧”將兩個或兩個以上的命題聯結而成的一種命題形式
（2）簡單析取式和簡單合取式：命題變項及其否定統稱爲文字，僅有有限個文字構成的析取式稱作簡單析取式，僅有有限個文字構成的合取式，稱作簡單合取式。
（3）一個簡單析取式是重言式當且僅當它同時包含某個命題變項及它的否定式；一個簡單合取式是矛盾式當且僅當它同時包含某個命題變項以及他的否定式。
（4）析取範式/合取範式：有有限個簡單合取式的析取構成的命題公式稱作析取範式。由有限個簡單析取式的合取構成的命題公式成爲合取範式。析取範式與合取範式統稱範式。
（5）析取範式和合取範式的性質：一個析取範式是矛盾式，當且僅當它的每個簡單合取式都是矛盾式；一個合取範式是重言式當且僅當它的每個簡單析取式都是重言式。
（6）將公式轉化爲析取或者合取範式：將->和<->按照等值式轉化成對應的形式，範式中不能出現非修飾的複合式或者雙重否定式等，如下圖：![]()
（7）範式存在定理：任一命題公式都存在與之等值的析取範式與合取範式![]()
（8）範式規範化/簡單合取式（極小項）/簡單析取式（極大項）：在含有n個命題變項的簡單合取式（簡單析取式）中，若每個命題變項和它的否定式恰好出現一個且僅出現一次，而且命題變項或它的否定式按下表從小到大或按字典順序排列，成這樣的簡單合取式（簡單析取式）爲極小項（極大項）
由那個命題變項共課產生2^n個不同的極小項，且每個極小項都有且只有一個成真賦值。若極小項對應的成真賦值構成的二進制數的十進制數爲i，就將這個極小項記做mi。類似的，n個命題變項共可產生2^n個不同的極大項，且每個極大項都只有一個成假賦值，將其對應的十進制數記做Mi，如下所示：
（9）設Mi和mi是命題變項p1，p2......pn的極小項和極大項，則非mi<=>Mi， 非Mi<=>mi；
(10)主合取範式/主析取範式：所有簡單合取式（析取式）都是極小項（極大項）的析取範式（合取範式）稱作主析取範式（主合取範式）。
（11）任何命題公式都存在與之等值的主析取方式和主合取範式，並且是唯一的。證明如下：![]()
下面看幾個例題：
（12）主析取範式的用途：a)求公式的成真賦值與成假賦值--若公式A中含有n個命題變項，A的主析取範式喊s個極小項，則A有S個成真賦值，他們是所含極小項角標的二級製表示。b)判斷公式的類型:設公式A中含n個命題變項，容易看出：A爲重言式當且僅當A的主析取範式含全部2^n個極小項；A爲矛盾式當且僅當A的主析取範式不含任何極小項，此時，記A的主析取範式爲0；A爲可滿足時當且僅當A的主析取範式中至少含一個極小項。c)判斷兩個公式是否等值：設公式A，B含有n個命題變項，按n個命題變項求出A與B的主析取範式，如果主析取範式相等，那麼A與B等值。
2.3 聯結詞的完備集
（1）n元真值函數：稱F：{0,1}^n-->{0,1}爲n元真值函數。
在這個定義中，F的自變量爲n個命題變項，自變量的取值含有2^n個，同時對應的值域只有2個，即{0,1}.比如1元真值函數，自變量爲{0，1}，值域爲{0,1}。但是可以兩兩組合，就是說，自變量{0,1}不變，值域可能是{0,0}，{0,1}，{1,0}，{1,1}。比如下表，對於命題變項p，有取值1,0兩個。而對應的值域取值有四種情況，對應就生成了4個真值函數：
下圖是2元真值函數對應的表格，一共包含16個真值函數。也就是說，對於n個命題變項，一共可以構成2^（2^n）個真值函數。
（2）每個真值函數與唯一的一個主析取範式等值！對應的主析取範式包含的極小值爲n個命題變項的取值對應的1的位置，比如上標中，F3，他是m2或m3，因爲p，q取值分別爲{1，0}，{1,1}，對應的真值函數取1，因此F3<=>m2或m3.
（3）聯結詞完備集：設S是一個聯結詞集合，如果任何的n（n>=1）元真值函數都可以由S中的聯結詞構成的公式表示，則稱S是聯結詞完備集。與或非構成的集合時聯結詞完備集。同時，非或，非與，非蘊含兩兩組合也是完備集。完備集的基礎上再增加新的連接詞，也是完備集。
（4）與非聯結詞：見下圖
2.4可滿足性問題與消解法
略，自己體會