離散數學第一部分

第一章 命題與命題公式

（1）、設A爲一個命題公式，若A在它的各種指派情況下，其取值均爲真，則稱A爲重言式或永真式。

（2）、設A爲一個命題公式，若A在它的各種指派情況下，其取值均爲假，則稱A爲矛盾式或永假式。

（3）、設A爲一個命題公式，若A在它的各種指派情況下至少存在一組成真指派，則稱A爲可滿足式。

（4）、{┐，∨}，{┐，∧} 是 最小聯結詞完備集。

{┐，∧，∨，→，<—>}
{┐，∧，∨，→}
{┐，∧}
{┐，∨}
{┐，→}

（5）、{↑}，{↓} 是 聯結詞完備集。
↑ 命題的 “與非 ” 運算 ， ↓ 命題的 “或非 ”運算

（6）、合取 ∧
自然語言中的“並且”，其根本含義是表示兩件事情同時成立。
類似詞語：“即···，又···。”，“不但···，而且···。”，“雖然···，但是···。”

（7）、析取 ∨
自然語言中的“或”，即兩者並不互相排斥，可能同時成立。

（8）、條件 →
Q → P，當前件沒有發生即P爲F時，後件發生或不發生都沒有關係。

（9）命題定律

名稱	公式
吸收律	A ∨ （A ∧ B） <=> A，A ∧ （A ∨ B） <=> A
德摩根律	┐（A ∨ B） <=> ┐A ∧ ┐B ，┐（A ∧ B） <=> ┐A ∨ ┐B
同一律	A ∨ F <=> A，A ∧ T <=> A
零律	A ∨ F <=> T，A ∧ F <=> F
徘中律	A ∨ ┐A <=> T
否定律	A ∧ ┐A <=> F
蘊涵等值式	A → B <=> ┐A ∨ B
等價等值式	A <—> B <=> （A → B）∧（B → A）
假言易位	A → B <=> ┐B → ┐A
等價否定等值式	A <—> B <=> ┐A <—> ┐B
歸謬論	（A → B）∧（A → ┐B）<=> ┐A

第二章 命題邏輯的推理理論

（1）、小項或大項：其中每個命題變元與它的否定不能同時存在，但該命題變元必須出現且出現一次，或以變元的形式，或以變元的否定形式。

小項：a∧b∧c∧d∧f，簡單合取式，有2^N個小項。
每個小項有一個成真賦值，有2^N -1種成假賦值。
任意兩個不同小項的合取式爲矛盾式。
全體小項的析取式爲重言式。

大項：a∨b∨c∨d∨f，簡單析取式。
每個大項有一個成假賦值，有2^N -1種成假賦值。
任意兩個不同大項的析取式爲矛盾式。
全體大項的合取式爲重言式。

（2）、主析取範式：由小項的析取所組成。
主合取範式：由大項的合取所組成。

若A可化爲與其等價的含2^N個小項的主析取範式，則A爲重言式。
若A可化爲與其等價的含2^N個大項的主合取範式，則A爲矛盾式。
若A的主析取範式中至少含有一個小項，或A的主合取範式中最多含有2^N -1個大項，則A爲可滿足式。

（3）、推理規則
前提引入規則：在證明的任何步驟上，都可以引入前提，P規則。
結論引入規則：在證明的任何步驟上，所證明的結論都可作爲後續證明的前提，稱爲T規則。
轉換規則：在證明的任何步驟上，命題公式中的任何子命題公式都可以用與之等值的命題公式置換，稱爲T規則。

H∧H∧H∧····∧H → C 是 H∧H∧H∧····∧H ├ C的充分必要條件。
若H∧H∧H∧····∧H∧R => C,則H∧H∧H∧····∧H => R → C。
若H，H，H，····，H，R ├ C,則H，H，H，····，H├ R → C。
CP規則

（4）、推理定律表

I編號	公式
1-2	A ∧ B => A，A ∧ B => B
3-4	A => A ∨ B，B => A ∨ B
5-6	┐A => A → B，B => ┐A → B
7-8	┐（A → B） => A，┐（A → B） => ┐B
9	A，B => A ∧ B
10	┐A，A ∨ B => B
11	A，A → B => B
12	┐B，A → B => ┐A
13	A → B，B → C => A → C
14	A ∨ B， A → C，B → C => C
15	A → B => （A ∨ B） → （B ∨ C）
16	A → B => （A ∧ B） → （B ∧ C）

第六章 代數系統的一般概念

（1）、幺元（單位元）：既是左幺元，又是右幺元。
e * x = x
x * e = x

（2）、零元：既是零元，又是零元。
o * x = o
x * o = o

（3）、設代數系統< A，*>中，e是關於運算 * 的單位元。若對A中某個元素a，存在A的一個元素b，使得b * a = e，則稱b爲a的左逆元；若 a * b= e，則稱b爲a的右逆元；若元素b既是a的左逆元，又是a的右逆元，則稱b爲a的一個逆元a^-1。

（4）、兩個代數系統中運算的個數相同，對應運算的元數也相同，且代數常數的個數也相同，則稱兩個代數系統具有相同的構成成分，也稱爲同類型的代數系統

注：同類型的代數系統，其運算性質不一定相同。

（5）、半羣
V = <S，* >是代數系統，* 是集合S上的二元運算，運算 *是封閉、可結合的，則稱V爲半羣。

∀ a，b，c ∈ S，a * b ∈ S
a * （b * c）= （a * b） * c

若<S，* >中存在一個幺元，則稱<S，* >爲獨異點。

（6）、羣
設<G，* >是獨異點，其中G是非空集合，* 是G上的二元運算，對於∀ x∈ G 都有 x^-1 存在，則稱<G，* >是一個羣。

羣 需滿足條件：封閉性、結合律、存在幺元、每個元素都要有逆元。

（7）、有限羣
設<G，* >是一個羣，如果G是有限集，則稱爲<G，* >是有限羣，G中元素的個數通常稱爲該有限羣的階數，記爲| G |。

若羣G中只含有一個元素，即G = {e}，| G | = 1，則稱G爲平凡羣。該元素可看作幺元，也可看作零元。

（8）、非平凡羣
<G，* >是非平凡羣，則羣中不存在零元，| G | > 1。

（9）、交換羣（Abel羣）
設<G，* >是一個羣，若運算 * 在G上滿足交換律，則稱爲<G，* >是交換羣。

（10）、元素的階
設<G，* >是羣，e是幺元。對於a ∈ G，使得a^k = e，成立的最小正整數k稱爲a的階，記作| G | ，a稱爲k階元。

（11）、羣的性質
設<G，* >是羣，∀ a，b ∈ G，∀ n，m ∈ Z有

（a^-1）^-1 = a；
（ab）^-1 = b^-1a^-1；
（aⁿ a^m） = a^n+m；
（aⁿ ）^m = a^nm；
若G爲交換羣，則（ab）ⁿ = aⁿbⁿ；

設<G，* >是羣，G滿足消去律，∀ a，b ∈ G有

a * b = a * c ，則 b = c；
b * a = c * a ，則 b = c；

（12）、冪等元
在代數系統<G，* >中，如果存在a ∈ G，a * a = a，稱a爲冪等元。
若運算 * 滿足冪等律，G中的所有元素均是冪等元。

在羣<G，* >中，e是唯一的冪等元。

（13）、循環羣
設<G，* >是一個羣，若在G中存在一個元素a，使得G中的任意元素都由a的冪組成，則稱爲該羣爲循環羣，元素a稱爲循環羣G的生成元。

G = {a⁰ = e，a¹，a²，…，a^n-1}是n階有限循環羣。
G = {…，a^-1，a⁰ = e，a¹，a²，…，a^n-1}是無限循環羣。

（14）、子羣
設<G，* >是一個羣，H是G的非空子集，則H <= G 當且僅當

∀ a，b ∈ H，a * b ∈ ;
∀ a ∈ H，a^-1 ∈ H；

（15）、環
設<A，+，* >是一個代數系統，+和 * 是二元運算，如果滿足

<A，+>是Abel羣；
<A，* >是半羣；
運算*對於運算+是可分配的；

則稱<A，+，* >是一個環。

（16）、環的運算性質

a * 0 = 0 * a = 0；
a * （—b） = （ —a）* b = —（a * b）；
（ —a）* （—b）= a * b ;

（17）零因子
在<R，+，* >環中，一個元素既是左零因子，又是右零因子，則稱爲零因子。

設<R，+，* >是環，如果他既是交換環、含幺環，也是無零因子環，則稱爲<R，+，* >爲整環。

（18）域
設<R，+，* >是一個整環，且| R | >= 2，若對∀ a ∈ R^* = R — {0}，都有a^-1 ∈ R，則稱爲<R，+，* >是域。

封閉性
對∀ a，b ∈ A，若a * b ∈ A，則稱運算 * 關於集合A是封閉的。

結合律
對∀ a，b，c ∈ A，若（a * b）* c = a * （b * c） ，則稱運算 * 在集合A上是可結合的。

交換律
對∀ a，b ∈ A，若a * b = b * a，則稱運算 * 在集合A上是可交換的。

冪等律
對∀ a ∈ A，若a * a = a，則稱運算 * 在集合A上是冪等的。

分配律
對∀ a，b，c ∈ A，若
a 。（b * c） = （a 。b） * （b 。c）
（b * c） 。a= （b 。a） * （c 。a）
則稱運算 。 對運算 * 是可分配的。