Codeforces Round #626 (Div. 2, based on Moscow Open Olympiad in Informatics)

前言

比賽AC

A. Even Subset Sum Problem

簡明題意

給定長度爲n的數組a。需要你輸出a的一個子序列，使這個子序列的和是偶數

正文

判斷a中奇數和偶數的個數，如果奇數數量>=2，則任意輸出兩個奇數。如果偶數數量>=1，則任意輸出一個偶數。否則輸出-1

代碼

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<stack>
#include<map>
#include<queue>
#include<string>
#include<vector>
using namespace std;

const int maxn = 1e5 + 10;
int a[maxn];
int b[maxn];

void solve()
{

	int t;
	cin >> t;
	while (t--)
	{
		int n;
		cin >> n;

		int ji = 0, ou = 0;
		for (int i = 1; i <= n; i++)
		{
			cin >> a[i];
			if (a[i] % 2 == 0) ou++, b[i] = 1;
			else ji++, b[i] = 0;
		}

		if (ou >= 1 || ji >= 2)
		{
			if (ou >= 1)
			{
				cout << 1 << endl;
				for (int i = 1; i <= n; i++)
					if (b[i] == 1)
					{
						cout << i << endl;
						break;
					}
			}else
			{
				cout << 2 << endl;
				int cnt = 0;
				for (int i = 1; i <= n; i++)
					if (b[i] == 0)
					{
						cout << i << " ";
						cnt++;
						if (cnt == 2)
							break;
					}
			}
		}
		else
		{
			cout << -1 << endl;
		}
	}
}

int main()
{
	//freopen("Testin.txt", "r", stdin);
	solve();
	return 0;
}

B. Count Subrectangles

簡明題意

給長度爲n的01串a和長度爲m的01串b，現在有一個n*m的矩陣，矩陣中的每一個元素g[i][j]=a[i]*b[j]。現在假設g矩陣計算出來了，詢問面積爲k的全1矩形有多少少個（這個矩形裏每個元素必須是1）

正文

假設a[3]=1，那麼，如果b[2]=1,b[3]=1，我們就會發現有一個12的全1矩形.如果a[2]=a[3]=1,b[3]=b[4]=b[5]=1，那麼就是23的全1矩形.
所以我們可以枚舉a中的連續1的數量，乘以b中連續1的數量，就是答案。
所以對k質因數分解，假設質因子是p，那麼一條邊長爲p，另一條爲k/p，我們只需要在a中尋找連續長度爲p的數量，乘以b中連續長度爲k/p的數量，累乘起來就行。
問題在於怎麼計算數組中連續某個長度的數量。這個可以把數組掃一遍，找到每一段連續的1的長度。比如我找到了一段連續5個1，假設數組rec[i]記錄連續i個1的數量，那麼rec[1]+=5,rec[2]+=4,rec[3]+=3,rec[4]+=2,rec[5]+=1.這樣好像並不是很好統計。我當時是這樣想的，假設當前已經5個1了，再增加一個1，你會發現，rec[1],rec[2],rec[3],rec[4],rec[5],rec[6]都會增加1，所以這相當於區間加和，用差分維護一下就可以了
要注意最後質因數分解k的時候，假設k很大而n，m很小，那麼p可能同時大於nm，這時候你去計算rec[p]就會導致re。所以每次質因數分解了，要特別判斷一下p、k/p的合法性。

代碼

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<stack>
#include<map>
#include<queue>
#include<string>
#include<vector>
using namespace std;

const int maxn = 1e5 + 10;


int cf[40000 + 10];


int rec_aa[40000 + 10];
int rec_bb[40000 + 10];

void solve()
{
	int n, m, k;
	cin >> n >> m >> k;
	int cur = 0;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
	{
		int t; scanf("%d", &t);
		if (t == 1)
		{
			cur++;

			cf[cur + 1]--;
			cf[1]++;
		}
		else if (t == 0)
		{
			cur = 0;
		}
	}
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		rec_aa[i] = rec_aa[i - 1] + cf[i];

	memset(cf, 0, sizeof cf);
	cur = 0;
	for (int i = 1; i <= m; i++)
	{
		int t; scanf("%d", &t);
		if (t == 1)
		{
			cur++;

			cf[cur + 1]--;
			cf[1]++;
		}
		else if (t == 0)
		{
			cur = 0;
		}
	}
	for (int i = 1; i <= m; i++)
		rec_bb[i] = rec_bb[i - 1] + cf[i];

	long long ans = 0;
	for (int i = 1; i * i <= k; i++)
		if (k % i == 0)
		{
			if (i <= n && k / i <= m)
				ans += rec_aa[i] * rec_bb[k / i];
			if (i *i != k && k / i <= n && i <= m)
				ans += rec_aa[k / i] * rec_bb[i];
		}

	cout << ans;
}

int main()
{
	//freopen("Testin.txt", "r", stdin);
	solve();
	return 0;
}

C. Unusual Competitions

簡明題意

給定n長的括號序列，每次能將一串長度爲l的連續子串重排，代價爲l。現在想要把括號序列變得合法，問最小的代價。

正文

我的思路是，把(當成1，）當成-1，然後順序考慮這個字符串。
每次從遇到的第一個-1開始，假設這個位置爲x，直到累加後和爲0，假設這個位置爲y，那麼，y-x+1就是這一次的消耗。直到遇到下一個-1.
這樣做爲啥是對的呢？其實我也不太懂，反正當時就搞出來這個想法，沒想到就A了。。。

代碼

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<stack>
#include<map>
#include<queue>
#include<cstdio>	
#include<string>
using namespace std;

const int maxn = 1e6 + 10;

char a[maxn];

void solve()
{
	int n; cin >> n;
	scanf("%s", a + 1);

	int ans = 0, cur = 0, st = -1;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
	{
		if (a[i] == '(') cur++;
		else if (a[i] == ')') cur--;
		if (cur == 0 && st != -1) ans += i - st + 1, st = -1;
		if (cur < 0 && st == -1) st = i;
	}
	cout << (cur == 0 ? ans : -1);
}

int main()
{
	//freopen("Testin.txt", "r", stdin);
	solve();
	return 0;
}

賽後補題

D. Present

簡明題意

給定長度爲n(2<=n<=4e5)的數組a，求兩兩之和的異或值。

正文

考慮到異或項最大是2e7，那麼結果肯定是<= $2^{[log_2(2e7)]}$ （向上取整）,算出來最多25個二進制項。那麼我們直接計算答案轉換爲二進制的每一項，最後合併成10進制的答案就行了。
那麼問題來了，如何知道答案的第i位是0還是1呢？我們可以直接找a數組中兩項和的i位是1的項有多少個。奇數個，答案的第i位是1，否則是0.
現在問題就是如何在a數組中尋找有多少個兩項之和的第i位爲1。
假設現在在計算答案的第k位。我們可以直接枚舉a數組的每一項 $a_i$ ，然後再到 $a_i$ 後面尋找 $a_j$ 使得 $a_i+a_j$ 的第k位是1.這個尋找我們可以想到二分查找。現在我們需要把k位以上的都先抹除掉，不然不好找。
假設我們在考慮k=4，那麼 $a_i和a_j$ 的範圍都在 $[0,11111]$ ，所以 $a_i+a_j$ 的範圍： $[0,11111+11111]=[0,111110]$ ，現在需要他倆的和第k位是1，那麼符合要求的 $a_i+a_j$ 範圍就成了: $[10000,11111]\cup[110000,111110]$ 。現在把 $a_i+a_j$ 的範圍用含k的式子表示，那麼就是: $[2^k,2^{k+1}-1]\cup[2^{k+1}+2^k,2^{k+2}-2]$
所以現在可以直接枚舉a[i]的每一項，然後二分查找在剛剛求出的那個區間的數有多少個，如果是奇數個，那麼第k位是1，偶數個則是0.

代碼

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<stack>
#include<map>
#include<queue>
#include<cstdio>	
#include<map>
#include<string>
using namespace std;

const int maxn = 4e5 + 10;

int a[maxn], b[maxn];

void solve()
{
	int n; cin >> n;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		scanf("%d", &a[i]);

	int ans = 0;
	for (int k = 0; k <= 26; k++)
	{
		for (int i = 1; i <= n; i++)
			b[i] = a[i] % (1 << (k + 1));
		sort(b + 1, b + 1 + n);

		long long cnt = 0;
		for (int i = 1; i <= n; i++)
		{
			int p1 = lower_bound(b + 1 + i, b + 1 + n, (1 << k) - b[i]) - b;
			int p2 = upper_bound(b + 1 + i, b + 1 + n, (1 << (k + 1)) - 1 - b[i]) - b - 1;
			cnt += 1ll * p2 - p1 + 1;

			p1 = lower_bound(b + 1 + i, b + 1 + n, (1 << (k + 1)) + (1 << k) - b[i]) - b;
			p2 = upper_bound(b + 1 + i, b + 1 + n, (1 << (k + 2)) - 2 - b[i]) - b - 1;
			cnt += 1ll * p2 - p1 + 1;
		}
		ans += (cnt & 1) * (1 << k);
	}
	cout << ans;
}

int main()
{
	//freopen("testin.txt", "r", stdin);
	solve();
	return 0;
}

E. Instant Noodles

簡明題意

有一個二分圖，左右的頂點數都是n。再給出m條邊。右端的每個點有一個權值a[i]
現在定義s是左端點的一個子集，這個集合s的值f(s)，定義爲二分圖右端所有與s有連邊的點的權值和。
現在求所有的f(s)互相的gcd

正文

看到題目的問題，子集都gcd起來，這樣我們應該聯想到gcd的一個性質，gcd(a,b,c)=gcd(a,b,c,a+b,a+c,b+c,a+b+c)。這時候，我們把a，b，c稱爲最小單位，也就是無論gcd式子裏是多少個最小單位的和，其結果都是最小單位的gcd。因此只需要考慮最小單位的gcd
也就是說，比如左點是{1,2,3}，那麼所形成的所有集合有{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}。（空集由於題意不計）。所以把這個對應到上面的gcd式子，我們可以發現是不是直接計算{1},{2},{3}的gcd就可以了呢？因爲{1},{2}這樣的集合是最小單位。
差不多是這個意思，但是這樣不對。因爲這個s到f(s)是有兩層映射的。也就是說，f({1})+f({2})!=f({1,2})，因爲，假設1號節點映射到了右端的1，2節點，而2號節點映射到1，3節點，所以 $f(1)=c_1+c_2,f(2)=c_1+c_3$ 而 $f(1,2)=c_1+c_2+c_3 !=f(1)+f(2)=c_1+2c_2+c_3$ 。所以以{1},{2}…這樣的集合爲最小單位是不對的。
考慮到每一個f(s)都是右端一些點的組合。那麼我們是不是可以直接以右端的每一個點爲最小單位呢？這樣看起來很合理，但實際上也不對。看這樣一個例子，共有123三個點，1映射到12,2映射到12，3映射到1。這時我們發現N(s)中根本沒有出現1，2這樣單獨的點，所以直接以右端點爲基本單位也是不對的。但此時，我們可以發現，直接以1，2整體作爲基本單位，就是對的了。所以最終就是，所有的在右端的，具有相同邊的點是基本單位，把這些點的權值和gcd起來就是答案。
總結一下，以後遇到很多數的gcd，我們可以考慮找到gcd的基本單位。

代碼

#pragma GCC optimize(2)
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<stack>
#include<map>
#include<queue>
#include<cstdio>	
#include<map>
#include<string>
using namespace std;

const int maxn = 5e5 + 10;

long long gcd(long long a, long long b)
{
	if (b == 0) return a;
	return gcd(b, a % b);
}

long long a[maxn];
vector<int> g[maxn];
map<vector<int>, long long> rec;

void solve()
{
	int t;
	cin >> t;
	while (t--)
	{
		int n, m;
		scanf("%d%d", &n, &m);
		for (int i = 1; i <= n; i++)
			scanf("%lld", &a[i]), g[i].clear();

		rec.clear();
		
		while (m--)
		{
			int u, v;
			scanf("%d%d", &u, &v);
			g[v].push_back(u);
		}

		for (int i = 1; i <= n; i++)
		{
			if (g[i].size())
			{
				sort(g[i].begin(), g[i].end());
				rec[g[i]] += a[i];
			}
			
		}

		long long ans = -1;
		for (auto& it : rec)
			if (ans == -1) ans = it.second;
			else ans = gcd(ans, it.second);

		printf("%lld\n", ans);
	}

}

int main()
{
	//freopen("Testin.txt", "r", stdin);
	solve();
	return 0;
}

Codeforces Round #626 (ABCDE)

前言

比賽AC

A. Even Subset Sum Problem

簡明題意

正文

代碼

B. Count Subrectangles

簡明題意

正文

代碼

C. Unusual Competitions

簡明題意

正文

代碼

賽後補題

D. Present

簡明題意

正文

代碼

E. Instant Noodles

簡明題意

正文

代碼

簡明題意

正文

代碼

總結

洛谷P4139 上帝與集合的正確用法歐拉定理

LightOJ1234 Harmonic Number 調和級數

UVA11426 GCD - Extreme (II) 莫比烏斯反演

LightOJ1282 Leading and Trailing 數學性質

LightOJ1341 Aladdin and the Flying Carpet 約數相關問題

https://yachay.unat.edu.pe/blog/index.php?comment_area=format_blog&comment_component=blog&comment_co

linux以太網驅動總結