Educational Codeforces Round 83 (ABCD)

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Educational Codeforces Round 83 (Rated for Div. 2)

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前言

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比賽AC

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A. Two Regular Polygons

簡明題意

• t組樣例，每次給出nm(m<=n)，問你正m邊形的頂點是否能完全與正n邊形重合

正文

• 頂點完全重合的充要條件是m|n。只需要一次簡單的判斷就可以了。
• 原因:直接在n邊形上取點，我們可以選擇每隔一個點取一個，隔兩個，隔三個，隔k個…如果隔若干個點剛好能取到，那麼n/k就是取到的點數，反過來就是直接判斷是否有m|n

代碼

• 略

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B. Bogosort

簡明題意

• 給定n長的數組，需要你重新剛給這個數組排列，使得對任意的i，j，有$i<j且j-a_j\not=i-a_i$

正文

• 注意到ij是升序的，現在有$a_i-i$，那麼把a數組降序排列就可以了，這樣可以使得$a_i-i$升序，就不會有相等的了。

代碼

略。

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C. Adding Powers

簡明題意

• 有一個n長的數組，給你一個k，現在有無限多個整數i(i>=0)，你每次可以讓數組的任意一位+=$k^i$（但相同的i只能用一次）
• 現在給你一個數組和k，問你這個數組能不能由上面的方法構造出來。

正文

• 看見$k^i$應該立馬想到k進制了。那麼我們可以直接把數組中的每一項都轉換成k進制數，然後需要滿足1個條件：
• 1.所有的$k^i$中的i都應該不一樣。這個直接數組判一下就行。
• 滿足了這個就yes，否則就no。

代碼

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<stack>
#include<map>
#include<queue>
#include<string>
#include<vector>
using namespace std;

const int maxn = 100;

void solve()
{
	int t;
	cin >> t;
	while (t--)
	{
		int n, k;
		int rec[100] = { 0 };
		cin >> n >> k;

		bool ok = 1;
		for (int i = 1; i <= n; i++)
		{
			long long t;
			cin >> t;
			if (!ok) continue;

			int w = 0;
			while (t)
			{
				w++;
				if (t%k == 1)
				{
					if (rec[w] == 1)
					{
						ok = 0;
						break;
					}
					else rec[w] = 1;
				}
				else if (t%k >= 2)
				{
					ok = 0;
					break;
				}
				t /= k;
			}
		}
		cout << (ok ? "YES" : "NO") << endl;
	}
}

int main()
{
	//freopen("Testin.txt", "r", stdin);
	solve();
	return 0;
}

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賽後補題

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D. Count the Arrays

簡明題意

• 計數題。計算滿足某些要求的序列的數量。
• 1.含有n個元素
• 2.每個元素的大小在[1,m]
• 3.這n個元素中只有兩個是相同的，其他互相都不同
• 4.存在一個i使得i前面的元素比它小，i後面的元素也比它小（嚴格小）

正文

• 因爲有兩個數是相同的，所以滿足要求的序列中，一定含有n-1個不同的元素。因此我們從先從m個數中選出n-1個，就是$C_{m}^{n-1 }$
• 再選一個數作爲重複數，共有n-1種數，除了最大值不能重複，其他數都能重複，也就是有n-2種重複法。
• 最後，數都選好了，我們要確定順序。現在確定了n個數，這n箇中有1個最大數，有2個重複數，剩下n-3個不一樣的數。我們如果給這n-3個數排序，怎麼排序呢？我們要把這n-3個數分成兩部分，第一部分單調增，另一部分單調減，然後把最大數放在中間。剩下的2個相同數的位置就是固定的了。那麼這n-3個數怎麼分成兩部分呢，這個就是$C_{n-3}^0+C_{n-3}^1+···+C_{n-3}^{n-3}=2^{n-3}$
• 根據乘法原理，把上面的乘起來，答案就是$C_m^{n-1}*(n-2)*2^{n-3}$

代碼

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<stack>
#include<map>
#include<queue>
#include<cstdio>	
#include<map>
#include<vector>
#include<string>
using namespace std;

const int maxn = 1e5 + 10;
const int mod = 998244353;

int ksm(int a, int b)
{
	int ans = 1, base = a;
	while (b)
	{
		if (b & 1)
			ans = 1ll * ans * base % mod;
		b >>= 1;
		base = 1ll * base * base % mod;
	}
	return ans;
}

int C(int n, int m)
{
	int ans = 1;
	for (int i = 0; i < m; i++)
		ans = 1ll * ans * (n - i) % mod;

	int b = 1;
	for (int i = 1; i <= m; i++)
		b = 1ll * b * i % mod;

	return 1ll * ans * ksm(b, mod - 2) % mod;
}

void solve()
{
	int n, m;
	cin >> n >> m;
	if (n < 3)
	{
		cout << 0;
		return;
	}
	cout << 1ll * C(m, n - 1) * (n - 2) % mod * ksm(2, n - 3) % mod;
}

int main()
{
	//freopen("testin.txt", "r", stdin);
	solve();
	return 0;
}

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簡明題意

正文

代碼

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簡明題意

正文

代碼

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總結